Discutiu el sistema per als diferents valors del paràmetre real \(k\).
La matriu del sistema i la matriu ampliada són
\( (M')=(M|b)=\left(\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&-k&0\\-2&0&0\end{array}\;\;\right|\left.\begin{array}{c}-7\\-1\\k+1\end{array}\right) \)
Calculem el determinant de \(M\):
\( |M|=\left|\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&-k&0\\-2&0&0\end{array}\;\;\right|=-8k \)
Aquest determinant s'anul·la només quan \(k=0\):
\( |M|=0 \quad\Rightarrow\quad k=0 \)
Per tant quan \(k\ne0\) el sistema serà un sistema compatible determinat i falta per discutir el cas \(k=0\). En aquest cas el sistema és:
\(\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y+4z&=&-7\\2x&=&-1\\-2x&=&1 \end{array} \right\rbrace\)
La segona equació i la tercera són proporcionals. Podem prescindir d'una d'elles. El sistema i les seves matrius ara són:
\(\displaystyle \left. \begin{array}{rcl} 2x+4y+4z&=&-7\\2x&=&-1 \end{array} \right\rbrace\)
\( (M')=(M|b)=\left(\begin{array}{rrr} 2&4&\;4\\2&0&0\end{array}\;\;\right|\left.\begin{array}{c}-7\\-1\end{array}\right) \)
Com que \(\text{rang}M=\text{rang}M'=2\) i \(n=3\), aquest sistema és un sistema compatible indeterminat amb \(1\) grau de llibertat.
En resum:
\(
\begin{array}{lll}
k\ne0 & \Rightarrow & \mathsf{S.C.D.} \\
k=0 & \Rightarrow & \mathsf{S.C.I.\,amb\,1\,grau\,de\,llibertat}
\end{array}
\)