Juny de 2014 - Sèrie 5 - Qüestió 6

Considereu l'equació matricial \(\boldsymbol{X} \cdot \boldsymbol{A} = \boldsymbol{B}\), en què

\(\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrc} 1&-1&1 \\ a&-3&a-1 \\ -1&0&1 \end{array}\right)\) i \(\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{rrr} -3&-2&-4 \\ 5&-2&5 \end{array}\right)\)

1. Per a quins valors del paràmetre \(a\) l'equació matricial té una solució única?

   Solució:

   Intentem resoldre el sistema en forma matricial:

   \(\boldsymbol{X}\cdot\boldsymbol{A}=\boldsymbol{B} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}^{-1}\)

   Per poder trobar \(\boldsymbol{X}\) s'han de cumplir dues condicions:

   • La matriu \(\boldsymbol{A}\) ha de ser invertible.

   • La multiplicació \(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}^{-1}\) ha de estar ben definida

   En cas que existeixi la matriu \(\boldsymbol{A}^{-1}\), serà una matriu quadrada d'ordre \(3\). Per tant la multiplicació \(\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}^{-1}\) estarà ben definida ja que el nombre de columnes de la primera matriu coincidirà amb el nombre de files de la segona. Així doncs, només haurem de garantir que la matriu \(\boldsymbol{A}\) sigui invertible, és a dir que el seu determinant sigui diferent de zero.

   \( \displaystyle \begin{align} \left| \boldsymbol{A} \right| \ne 0 \quad &\Rightarrow\quad \left|\begin{array}{rrc} 1&-1&1 \\ a&-3&a-1 \\ -1&0&1 \end{array}\right| \ne 0 \\[6pt] &\Rightarrow\quad 2a-7 \ne 0 \\[6pt] &\Rightarrow\quad \bbox[7px,border:1px solid]{ a \ne \frac{7}{2} } \\[6pt] \end{align} \)

   [1 punt]

2. Trobeu la matriu \(\boldsymbol{X}\) que satisfà l'equació matricial quan \(a=3\).

   Solució:

   Quan \(a=3\) la matriu \(\boldsymbol{A}\) i el seu determinant són

   \(\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{rrr} 1&-1&1 \\ 3&-3&2 \\ -1&0&1 \end{array}\right)\)

   \(\left| \boldsymbol{A} \right| = 2 \cdot 3-7 = -1\),

   Calculem primer la matriu inversa

   \( \displaystyle \begin{align} \boldsymbol{A}^{-1} &=\frac{1}{\left|\boldsymbol{A}\right|}\cdot\left(\boldsymbol{A}^*\right)^{\mathsf{T}} \\[6pt] &=\frac{1}{-1}\cdot\left(\begin{array}{rrr} -3&-5&-3 \\ 1&2&1 \\ 1&1&0 \end{array}\right)^{\mathsf{T}} \\[6pt] &=-1\cdot\left(\begin{array}{rrr} -3&1&1 \\ -5&2&1 \\ -3&1&0 \end{array}\right) \\[6pt] &=\left(\begin{array}{rrr} 3&-1&-1 \\ 5&-2&-1 \\ 3&-1&0 \end{array}\right) \end{align} \)

   I ara calculem \(\boldsymbol{X}\)

   \( \displaystyle \begin{align} \boldsymbol{X} &=\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A}^{-1} \\[6pt] &=\left(\begin{array}{rrr} -3&-2&-4 \\ 5&-2&5 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr} 3&-1&-1 \\ 5&-2&-1 \\ 3&-1&0 \end{array}\right) \\[6pt] &=\left(\begin{array}{rrr} -31&11&5 \\ 20&-6&-3 \end{array}\right) \end{align} \)

   [1 punt]