Juny de 2014 - Sèrie 5 - Qüestió 5

Donats els vectors \(\mathbf{u}=(2,–1,0)\), \(\mathbf{v}=(–1,3,4)\) i \(\mathbf{w}=(0,3a-1,4a)\),

1. Calculeu els valors del paràmetre \(a\) perquè els vectors \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) i \(\mathbf{w}\) siguin linealment dependents.

   Solució:

   Perquè els tres vectors \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) i \(\mathbf{w}\) siguin linealment dependents, la matriu quadrada d'ordre \(3\) formada pels tres vectors ha de tenir rang menor de \(3\). Per tant el determinant d'aquesta matriu ha ser zero.

   \( \displaystyle \begin{align} \left\lbrace \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w}\right\rbrace \quad\mathsf{v.l.d.} \quad &\Rightarrow\quad \left|\begin{array}{rrc} 2&-1&0 \\ -1&3&3a-1 \\ 0&4&4a \end{array}\right|=0 \\[6pt] &\Rightarrow\quad -4a+8=0 \\[6pt] &\Rightarrow\quad \bbox[5px,border:1px solid]{a=2} \end{align} \)

   [1 punt]

2. Calculeu els valors del paràmetre \(a\) perquè un tetraedre d'arestes \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) i \(\mathbf{w}\) tingui un volum de \(2/3\) d'unitats cúbiques.

   Solució:

   El volum d'un tetraedre definit per els tres vectors \(\mathbf{u}\), \(\mathbf{v}\) i \(\mathbf{w}\) es calcula amb l’expressió:

   \( \displaystyle V = \frac{1}{6} \left| \text{det} \left( \mathbf{u},\mathbf{v},\mathbf{w} \right) \right| = \frac{\left|-4a+8\right|}{6} = \frac{\left|-2a+4\right|}{3} \)

   De manera que:

   \( \displaystyle \frac{\left|-2a+4\right|}{3}=\frac{2}{3} \quad\Rightarrow\quad \left|-2a+4\right|=2 \quad\Rightarrow\quad -2a+4=\pm 2 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace \begin{array}{l} \bbox[5px,border:1px solid]{x=1}\\[6pt] \bbox[5px,border:1px solid]{x=3} \end{array} \right. \)

   [1 punt]