Calculeu els valors de \(x\) en què la funció \(f\) té un màxim relatiu, un mínim relatiu o un punt d'inflexió, i indiqueu en cada cas de què es tracta.
Comencem calculant els punts estacionaris, que són els que anul·len la primera derivada. En aquest cas \(x=2\) i \(\displaystyle x=\frac{2}{3}\).
Per a classificar aquests punts estacionaris farem servir la segona derivada.
\(
\begin{align}
f''(x)
&= 2 \, (3x-2) \, 3 \, (x-2) + (3x-2)^2 \, 1 \\[6pt]
&= (3x-2) \, \Big[ 6 \, (x-2) + (3x-2) \Big] \\[6pt]
&= (3x-2) (9x-14)
\end{align}
\)
Com que \( f''(2) = 16 \gt 0 \), en \(x=2\) la funció té un mínim relatiu.
Com que \(\displaystyle f''(\frac{2}{3}) = 0\), en \(\displaystyle x=\frac{2}{3}\) encara no podem concloure res.
Els punts candidats a ser punts d'inflexió són aquells que anul·len la segona derivada. En aquest cas \(\displaystyle x=\frac{2}{3}\) i \(\displaystyle x=\frac{14}{9}\).
Els punts candidats a ser punts d'inflexió són aquells que anul·len la segona derivada. En aquest cas \(\displaystyle x=\frac{2}{3}\) i \(\displaystyle x=\frac{14}{9}\).
Per a classificar aquests punts farem servir la tercera derivada.
\(
\begin{align}
f'''(x)
&= 3 (9x-14) + (3x-2) 9 \\[6pt]
&= 54x-60
\end{align}
\)
Com que \(\displaystyle f'''(\frac{2}{3}) \ne 0\), en \(\displaystyle x=\frac{2}{3}\) la funció té un punt d'inflexió.
Com que \(\displaystyle f'''(\frac{14}{9}) \ne 0\), en \(\displaystyle x=\frac{14}{9}\) la funció té un punt d'inflexió.