Juny de 2014 - Sèrie 5 - Qüestió 3

Considereu el sistema d'equacions lineals \(\left\lbrace\begin{align} mx-y&=m \\ 3x+(m-4)y&=m+2 \end{align}\right.\), per a \(m\in\mathbb{R}\).

1. Discutiu el sistema d'equacions per als diferents valors del paràmetre \(m\).

   Solució:

   La matriu de coeficients, \(\boldsymbol{M}\), i la matriu ampliada, \(\boldsymbol{M'}\), del sistema són:

   \( \boldsymbol{M'} = \left(\boldsymbol{M}|\boldsymbol{b}\right) = \left(\begin{array}{cc|c} m&-1&m \\ 3&m-4&m+2 \end{array}\right) \)

   I el determinant de \(\boldsymbol{M}\) és:

   \( \left| \boldsymbol{M} \right| = \left|\begin{array}{cc} m&-1 \\ 3&m-4 \end{array}\right| = m^2-4m+3 \)

   Si igualem a zero aquest determinant obtenim les solucions \(m=1\) i \(m=3\).

   • Si \( m \ne 1 \land m \ne 3 \), aleshores:

     \(\text{rang}\boldsymbol{M}=\text{rang}\boldsymbol{M'}=2 \quad\Rightarrow\quad\) El sistema és compatible determinat.

   • Si \(\displaystyle m = 1 \), aleshores:

     \( \boldsymbol{M'} = \left(\begin{array}{cc|c} 1&-1&1 \\ 3&-3&3 \end{array}\right) \)

     \(\text{rang}\boldsymbol{M}=\text{rang}\boldsymbol{M'}=1 \lt 2 \quad\Rightarrow\quad\) El sistema és compatible indeterminat.

   • Si \(\displaystyle m = 3 \), aleshores:

     \( \boldsymbol{M'} = \left(\boldsymbol{M}|\boldsymbol{b}\right) = \left(\begin{array}{cc|c} 3&-1&3 \\ 3&-1&5 \end{array}\right) \)

     \(\text{rang}\boldsymbol{M} \ne \text{rang}\boldsymbol{M'} \quad\Rightarrow\quad\) El sistema és incompatible.

   [1 punt]

2. Resoleu el sistema en aquells casos en què el sistema sigui compatible.

   Solució:

   • Si \( m \ne 1 \land m \ne 3 \):

     Resolem el sistema pel mètode de Cramer.

     \( \Delta = \left| \boldsymbol{M} \right| = m^2-4m+3 = (m-1) (m-3) \\[10pt] \Delta_x = \left|\begin{array}{cc} m&-1 \\ m+2&m-4 \end{array}\right| = m^2-3m+2 = (m-2) (m-1) \\[10pt] \Delta_x = \left|\begin{array}{cc} m&m \\ 3&m+2 \end{array}\right| = m^2-m = m (m-1) \)

     \( \displaystyle x = \frac{\Delta_x}{\Delta} = \frac{(m-2)\cancel{(m-1)}}{\cancel{(m-1)}(m-3)} = \frac{m-2}{m-3} \\[10pt] \displaystyle y = \frac{\Delta_y}{\Delta} = \frac{m\cancel{(m-1)}}{\cancel{(m-1)}(m-3)} = \frac{m}{m-3} \)

   • Si \( m = 1 \):

     En aquest cas el sistema queda reduït a una única equació \(x-y=1\), ja que les dues equacions resultants són proporcionals. Els punts solució són de la forma:

     \(\left( 1+y,y \right)\)

   [1 punt]