Juny de 2014 - Sèrie 5 - Qüestió 2

Siguin les funcions \(\displaystyle f(x)=\frac{\text{e}^{ax}+b}{4}\) i \(g(x)=+\sqrt{3x+4}\).

1. Determineu el domini i el recorregut de la funció \(g\).

   Solució:

   El domini de la funció és el conjunt de valors de \(x\) que fan que el radicand no sigui negatiu. Per tant:

   \(\displaystyle 3x+4 \ge 0 \quad\Rightarrow\quad x \ge -\frac{4}{3} \quad\Rightarrow\quad \boxed{\text{Dom}\,g = \left[ -\frac{4}{3},+\infty \right)} \)

   El recorregut de la funció és el conjunt de valors de \(y\) que tenen antiimatge. El signe \(+\) devant de l'arrel en l'expressió de la funció ens indica que aquests valors no han de ser negatius. Concretament seran els valors no negatius de \(y\) per als quals la igualtat \(y=+\sqrt{3x+4}\) tingui solució per a \(x\). Però aquesta equació es pot resoldre per a qualsevol valor de \(y\) no negatiu.

   \( \displaystyle y=+\sqrt{3x+4} \quad\Rightarrow\quad x=\frac{y^2-4}{3} \)

   Per tant:

   \( \boxed{\text{Rec}\,g = \left[ 0,+\infty \right)} \)

   [1 punt]

2. Calculeu per a quins valors de \(a\) i de \(b\) les gràfiques de les dues funcions són tangents (és a dir, tenen la mateixa recta tangent) en el punt d'abscissa \(x= 0\).

   Solució:

   Per tal que les dues funcions siguin tangents en \(x=0\) s'han de satisfer les dues equacions:

   \(\begin{align} f(0) &= g(0) \\ f'(0) &= g'(0) \end{align} \)

   Primer calculem les derivades de les dues funcions:

   \( \displaystyle f'(x) = \frac{a \text{e}^{ax}}{4} \\ g'(x) = \frac{3}{2\sqrt{3x+4}} \)

   I ara resolem les equacions:

   \( \displaystyle \begin{align} f(0)=g(0) \quad &\Rightarrow\quad \frac{e^0+b}{4}=+\sqrt{3 \cdot 0+4} \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{1+b}{4}=2 \\[6pt] &\Rightarrow\quad \boxed{b=7} \end{align} \)

   \( \displaystyle \begin{align} f'(0)=g'(0) \quad &\Rightarrow\quad \frac{a \cdot e^0}{4}=\frac{3}{2\sqrt{3 \cdot 0+4}} \\[6pt] &\Rightarrow\quad \frac{a \cdot 1}{4}=\frac{3}{4} \\[6pt] &\Rightarrow\quad \boxed{a=3} \end{align} \)

   [1 punt]