Juny de 2014 - Sèrie 5 - Qüestió 1

Siguin \(r\) i \(s\) les rectes de \(\mathbb{R}^3\) que tenen les equacions següents:

\(\displaystyle r: x+5=y-5=\frac{z-3}{2} \quad\) i \(\displaystyle \quad s: \frac{x-3}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{-1}\)

1. Estudieu el paral·lelisme i la perpendicularitat entre les rectes \(r\) i \(s\).

   Solució:

   Anomenen \(\mathbf{v_r}\) i \(\mathbf{v_s}\) als vectors directors de \(r\) i \(s\).

   \(\mathbf{v_r}=(1,1,2) \quad\) i \(\quad \mathbf{v_s}=(2,3,-1)\)

   Les rectes \(r\) i \(s\) no són paral·leles perquè els seus vectors directors no són proporcionals.

   \(\displaystyle \frac{1}{2}\ne\frac{1}{3}\ne\frac{2}{-1}\)

   I no són perpendiculars perquè els producte escalar dels vectors directors no és zero.

   \(\mathbf{v_r}\cdot\mathbf{v_s} = (1,1,2) \cdot (2,3,-1) = 2+3-2 = 3 \ne 0\)

   [1 punt]

2. Trobeu l'equació general (és a dir, que té la forma \(Ax+By+Cz=D\)) del pla \(\pi\) que conté la recta \(r\) i és paral·lel a la recta \(s\). Calculeu la distància entre la recta \(s\) i el pla \(\pi\) obtingut.

   Solució:

   Si el pla \(\pi\) ha de contenir a la recta \(s\), aleshores ha de passar per \(P_r=(-5,5,3)\) i podem fer servir \(\mathbf{v_r}=(1,1,2)\) com un dels dos vectors directors. Si a més ha de ser paral·lel a \(s\) podem fer servir \(\mathbf{v_s}=(2,3,-1)\) com l'altre vector director, ja que \(r\) i \(s\) no són paral·leles.

   Amb això ja podem obtenir l'equació del pla.

   \( \begin{align} \left|\begin{array}{ccr} x+5&1&2 \\ y-5&1&3 \\ z-3&2&-1 \end{array}\right| = 0 \quad &\Leftrightarrow\quad (x+5)(−7)−(y−5)(−5)+(z-3)1 = 0 \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad -7x+5y+z-63=0 \\[6pt] &\Leftrightarrow\quad \boxed{\pi: -7x+5y+z=63} \end{align} \)

   Pel que fa a la distància entre la recta \(s\) i el pla \(\pi\), com que són paral·lels calcularem la distància entre el pla \(\pi\) i un punt de \(s\), per exemple \(P_s=(3,2,-1)\).

   \( \displaystyle \begin{align} d(s,\pi) &=d(P_s,\pi) \\[6pt] &=\frac{\left| -7 \cdot 3 + 5 \cdot 2 -1 -63 \right|}{\sqrt{(-7)^2+5^2+1^2}} \\[6pt] &=\frac{75}{\sqrt{75}} \\[6pt] &=\boxed{5\sqrt{3}} \end{align} \)

   [1 punt]