Juny de 2014 - Sèrie 4 - Qüestió 6

Responeu a les qüestions següents:

1. La funció \(f(x)=(b–x)\text{e}^{ax}\), amb \(a\) i \(b\) constants, té la representació gràfica següent

   i sabem que passa pels punts \(A=(0,2)\) i \(B=(2,0)\), i que en el punt \(A\) la recta tangent a la gràfica és horitzontal. Calculeu els valors de \(a\) i \(b\).

   Solució:

   Que la gràfica passi pel punt \(A=(0,2)\) vol dir que \(f(0)=2\), i això implica:

   \(f(0)=2 \quad\Rightarrow\quad (b–0)\text{e}^0=2 \quad\Rightarrow\quad \boxed{b=2} \)

   Que la gràfica passi pel punt \(B=(2,0)\) no ens aporta cap informació extra, ja que

   \(f(2)=0 \quad\Rightarrow\quad (2–2)\text{e}^{2a}=0 \quad\Rightarrow\quad 0=0 \)

   Altrament, si en el punt \(A\) la recta tangent a la gràfica és horitzontal, aleshores \(f'(0)=0\). Conseqüentment hem de calcular la derivada de la funció \(f(x)=(2–x)\text{e}^{ax}\).

   \( \displaystyle \begin{align} f'(x) &=\left( -1 \right) \cdot \text{e}^{ax} + \left( 2-x \right) \cdot \text{e}^{ax} \cdot a \\[6pt] &=\left( -1+2a-ax \right) \text{e}^{ax} \\[6pt] \end{align} \)

   I ara imposem que \(f'(0)=0\)

   \(\displaystyle f'(0)=0 \quad\Rightarrow\quad \left(-1+2a \right)\text{e}^0=0 \quad\Rightarrow\quad \boxed{a=\frac{1}{2}} \)

   [1 punt]

2. Calculeu \(\displaystyle \int^{2}_{1} x \ln{x}\,\text{d}x \).

   Solució:

   Integrarem per parts.

   \( \displaystyle \left\lbrace\begin{array}{lcl} u=\ln{x} & \rightarrow & du=\frac{1}{x}\,\text{d}x\\ dv=x\,\text{d}x & \rightarrow & v=\frac{x^2}{2} \end{array}\right\rbrace \)

   \( \displaystyle \begin{align} \int^{2}_{1} x \ln{x}\,\text{d}x &=\left[ \frac{x^2 \ln x}{2} \right]^{2}_{1} - \int^{2}_{1} \frac{x^2}{2}\frac{1}{x}\,\text{d}x \\[6pt] &=\left( 2 \ln 2 - 0 \right) - \left[ \frac{x^2}{4} \right]^{2}_{1} \\[6pt] &=2 \ln 2 - \left( 1-\frac{1}{4} \right) \\[6pt] &=2 \ln 2 - \frac{3}{4} \end{align} \)

   [1 punt]