Juny de 2014 - Sèrie 4 - Qüestió 5

Responeu a les qüestions següents:

1. Si \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) són dues matrius quadrades d'ordre \(n\), demostreu que

   \(\left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right)^2 = \boldsymbol{A}^2+2\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^2 \quad\Leftrightarrow\quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}=\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}\)

   Solució:

   \( \begin{align} \left( \boldsymbol{A}+\boldsymbol{B} \right)^2 = \boldsymbol{A}^2+2\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\boldsymbol{B}^2 \quad &\Leftrightarrow\quad \cancel{\boldsymbol{A}^2}+\cancel{\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}}+\boldsymbol{B}\boldsymbol{A}+\cancel{\boldsymbol{B}^2} = \cancel{\boldsymbol{A}^2}+\cancel{\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}}+\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}+\cancel{\boldsymbol{B}^2} \\[8pt] &\Leftrightarrow\quad \boldsymbol{B}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B} \end{align} \)

   [1 punt]

2. Si \(\boldsymbol{M_1}\) i \(\boldsymbol{M_2}\) són dues matrius de la forma \(\left(\begin{array}{cr}a&-b\\b&a\end{array}\right)\), amb \(a,\,b \in \mathbb{R}\), comproveu que el producte \(\boldsymbol{M_1}\cdot\boldsymbol{M_2}\) té també la mateixa forma i que \(\boldsymbol{M_1}\cdot\boldsymbol{M_2}=\boldsymbol{M_2}\cdot\boldsymbol{M_1}\).

   Solució:

   Denotem \(\boldsymbol{M_1}=\left(\begin{array}{cr}a&-b\\b&a\end{array}\right)\) i \(\boldsymbol{M_2}=\left(\begin{array}{cr}c&-d\\d&c\end{array}\right)\) i fem el producte \(\boldsymbol{M_1}\cdot\boldsymbol{M_2}\).

   \( \begin{align} \boldsymbol{M_1}\cdot\boldsymbol{M_2} &= \left(\begin{array}{cr}a&-b\\b&a\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cr}c&-d\\d&c\end{array}\right) \\[8pt] &= \left(\begin{array}{cr}ac-bd&-ad-bc\\bc+ad&-bd+ac\end{array}\right) \\[8pt] &= \left(\begin{array}{cc}ac-bd&-(bc+ad)\\bc+ad&\phantom{,,}ac-bd\end{array}\right) \end{align} \)

   Podem veure que la matriu producte és de la forma descrita a l'enunciat ja que els elements de la diagonal principal coincideixen i els elements de la diagonal secundària són oposats.

   Per a comprovar la commutativitat de les matrius \(\boldsymbol{M_1}\) i \(\boldsymbol{M_2}\) fem l'altre producte

   \( \begin{align} \boldsymbol{M_2}\cdot\boldsymbol{M_1} &= \left(\begin{array}{cr}c&-d\\d&c\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{cr}a&-b\\b&a\end{array}\right) \\[8pt] &= \left(\begin{array}{cr}ac-bd&-ad-bc\\bc+ad&-bd+ac\end{array}\right) \\[8pt] &=\boldsymbol{M_1}\cdot\boldsymbol{M_2} \end{align} \)

   [1 punt]