Determineu els valors de \(m\) perquè els plans \(\pi_1\) i \(\pi_2\) s'intersequin en una recta i calculeu un vector director de la recta resultant que no depengui de \(m\).
Si els dos plans \(\pi_1\) i \(\pi_2\) s'intersequen en una recta, aleshores el sistema
\( \left.\begin{array}{r} x–4y+z=2m –1 \\ 2x–(2m+2)y+2z=3m+1 \end{array}\right\rbrace \)
ha de ser un sitema compatible indeterminat. Dit d'una altra manera, el rang de la matriu de coeficients
\( \left(\begin{array}{ccc} 1 & –4 & 1 \\ 2 & –2m-2 & 2 \end{array}\right) \)
ha de ser \(2\). Això només es complirà si el menor \(\left|\begin{array}{cc} 1 & –4 \\ 2 & –2m-2 \end{array}\right|\) és diferent de zero.
\( \left|\begin{array}{cc} 1 & –4 \\ 2 & –2m-2 \end{array}\right| \ne 0 \quad\Leftrightarrow\quad -2m+6 \ne 0 \quad\Leftrightarrow\quad m \ne 3\)
Per tant, \(\pi_1\) i \(\pi_2\) s'intersecten en una recta si i només si \(m \ne 3\).
El vector director de la recta \(r\), que anomenarem \(\mathbf{v_r}\), s'obté fent el producte vectorial dels vectors normals dels dos plans.
\(
\displaystyle
\begin{align}
\mathbf{v_r}
& = \left( 1,-4,1 \right) \times \left( 2,-2m-2,2 \right) \\[8pt]
& = \left|\begin{array}{cc} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k} \\ 1&-4\phantom{-}&1 \\ 2&–2m-2\phantom{-}&2 \end{array}\right| \\[8pt]
& = \left( m-3,0,-m+3 \right)
\end{align}
\)
Com que estem en el cas \(m \ne 3\), podem simplificar el vector director dividint entre \(m-3\) i obtenim el vector:
\(\mathbf{v_r} = \left( 1,0,-1 \right)\)