Juny de 2014 - Sèrie 4 - Qüestió 3

Siguin els punts \(P=\left(1,1,0\right)\), \(Q=\left(1,0,1\right)\) i \(R=\left(0,1,1\right)\) i el pla \(\pi:\,x+y+z=4\).

1. Trobeu l’equació general (és a dir, que té la forma \(Ax + By + Cz = D\)) del pla que passa pels punts \(P\), \(Q\) i \(R\).

   Solució:

   Per escriure l'equació del pla, que anomenarem \(\pi'\) triem, per exemple, que passi pel punt \(P\left(1,1,0\right)\) i que tingui com a vectors directors \(\vec{PQ}=\left(0,-1,1\right)\) i \(\vec{PR}=\left(-1,0,1\right)\).

   \( \displaystyle \left|\begin{array}{ccc}x-1&0&-1\phantom{-}\\y-1&-1\phantom{-}&0\\z-0&1&1\end{array}\right|=0 \quad\Rightarrow\quad x+y+z=2 \)

   [1 punt]

2. Si \(S\) és un punt de \(\pi\), comproveu que el volum del tetraedre de vèrtexs \(P\), \(Q\), \(R\) i \(S\) no depèn del punt \(S\).

   Solució:

   Podem calcular l'area d'un tetraedre amb la fòrmula

   \(\displaystyle V=\frac{A_\text{base} \cdot h}{3}\)

   Si agafem com a base el triangle format pels tres punts \(P\), \(Q\) i \(R\) de l'enunciat, aleshores l'àrea de la base és independent del punt \(S\). A més l'altura \(h\) és la distància entre el punt \(S \in \pi\) i el pla \(\pi'\) de l'apartat anterior i degut a que aquest dos plans són paral·lels, aquesta distància és independent del punt \(S\).

   [1 punt]