Responeu a les qüestions següents:
Discutiu el sistema d’equacions lineals
\( \displaystyle \left\lbrace\begin{array}{r} (k-1)y + (k^2-1) z = 0 \\ (4k+1)x - y - 7z = 1 \\ x + y + z = 0 \end{array}\right. \)
en funció dels valors de \(k\).
Farem servir el teorema de Rouché-Frobenius. Les matrius associades al sistema són
\( \displaystyle \boldsymbol{M}= \left(\begin{array}{ccc} 0&k-1&k^2-1 \\ 4k+1&-1\phantom{-}&-7\phantom{-} \\ 1&1&1 \end{array}\right) \)
\( \displaystyle \boldsymbol{M'}= \left(\begin{array}{ccc|c} 0&k-1&k^2-1&0 \\ 4k+1&-1\phantom{-}&-7\phantom{-}&1 \\ 1&1&1&0 \end{array}\right) \)
Anem a calcular el rang de \(\boldsymbol{M}\) en funció de \(m\)
\( \left| \begin{array}{rr} -1&-7\\1&1 \end{array} \right| = 6 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} 2 \le \text{rang}\boldsymbol{M} \le 3 \\[8pt] 2 \le \text{rang}\boldsymbol{M'} \le 3 \end{array}\right. \)
\( \displaystyle \begin{align} \left|\boldsymbol{M}\right| &=\left|\begin{array}{ccc} 0&k-1&k^2-1 \\ 4k+1&-1\phantom{-}&-7\phantom{-} \\ 1&1&1 \end{array}\right| \\[10pt] &=(k-1)\cdot\left|\begin{array}{ccc} 0&1&k+1 \\ 4k+1&-1\phantom{-}&-7\phantom{-} \\ 1&1&1 \end{array}\right| \\[10pt] &=(k-1)\cdot(4k^2+2k-6) \\[8pt] \end{align} \)
Quan igualem a zero aquesta expressió obtenim les solucions \(k=1\) i \(\displaystyle k=-\frac{3}{2}\).
Si \(\displaystyle k \ne 1 \land k \ne -\frac{3}{2}\), aleshores:
\(\text{rang}\boldsymbol{M}=\text{rang}\boldsymbol{M'}=3 \quad\Rightarrow\quad\) El sistema és compatible determinat.
Si \(\displaystyle k= 1 \), aleshores:
\( \boldsymbol{M'} = \left(\begin{array}{rrr|r} 0&0&0&0 \\ 5&-1&-7&1 \\ 1&1&1&0 \end{array}\right) \)
\( \left.\begin{array}{r} \text{rang}\boldsymbol{M}=2 \\ \text{rang}\boldsymbol{M'}=2 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad\) El sistema és compatible indeterminat.
Si \(\displaystyle k= -\frac{3}{2} \), aleshores:
\( \displaystyle \boldsymbol{M'}= \left(\begin{array}{ccc|r} 0&-\frac{5}{2}\phantom{-}&\frac{5}{4}&0 \\ -5\phantom{-}&-1\phantom{-}&-7\phantom{-}&1 \\ 1&1&1&0 \end{array}\right) \)
\( \displaystyle \left|\begin{array}{ccc} -\frac{5}{2}\phantom{-}&\frac{5}{4}&0 \\ -1\phantom{-}&-7\phantom{-}&1 \\ 1&1&0 \end{array}\right| = \frac{15}{4} \ne 0 \)
\( \left.\begin{array}{r} \text{rang}\boldsymbol{M}=2 \\ \text{rang}\boldsymbol{M'}=3 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad\) El sistema és incompatible.
Resoleu el sistema per a \(k = 1\).
Aplicarem el mètode de Gauss. Hem vist a l'apartat anterior que si \(k=1\) el sistema és compatible indeterminat i a la matriu del sistema s'anul·la la primera equació. No cal, doncs, que la tornem a escriure. I a més, per comoditat, intercanviem les altres dues equacions de lloc.
\( \displaystyle \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&1&0 \\ 5&-1&-7&1 \end{array}\right) \overset{^{E'_2=E_2-5E_1}}{\longrightarrow} \left(\begin{array}{rrr|r} 1&1&1&0 \\ 0&-6&-12&1 \end{array}\right) \)
A la segona equació l'hem restat \(5\) vegades la primera. La matriu resultant és equivalent al següent sistema:
\(\displaystyle \left.\begin{array}{r} x+y+z=0 \\ -6y-12z=1 \end{array}\right\rbrace\)
A partir d'aquest sistema aillarem la \(x\) i la \(y\) en funció de \(z\). De la segona equació obtenim:
\( \displaystyle y=-\frac{1}{6}-2z \)
Ara substituim aquesta expressió a la primera equació i aillem la\(x\):
\(\displaystyle x-\frac{1}{6}-2z+z=0 \quad\Rightarrow\quad x=\frac{1}{6}+z \)
I ja tenim que les infinites solucions d'aquest sistema són de a forma:
\(\displaystyle \left( \frac{1}{6}+z, -\frac{1}{6}-2z, z \right) \), amb \(z \in \mathbb{R}\)