Juny de 2014 - Sèrie 4 - Qüestió 1

Considereu la funció \(\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-2}\).

1. Calculeu les asímptotes verticals, horitzontals i obliqües de la funció \(f\).

   Solució:

   Asímptotes verticals.

   El domini d'una funció racional són tots els nombres reals llevat dels que anul·len el denominador. En aquest cas \(x=2\).

   \(\displaystyle f(x)=\frac{x+3}{x-2} \quad\Rightarrow\quad \text{Dom}f(x)=\mathbb{R}-\left\lbrace 2 \right\rbrace\)

   Si el límit de la funció en aquest punt que anul·la el denominador és \(\infty\) tindrem una asímptota vertical.

   \(\displaystyle \lim_{x\to2}{f(x)}=\lim_{x\to2}{\frac{x+3}{x-2}} = \infty \)

   Per tant tenim una asímptota vertical en \(x=2\).

   Asímptotes horitzontals.

   Si el límit de la funció quan \(x\to\pm\infty\) és un nombre real tindrem una asímptota horitzontal.

   \(\displaystyle \lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}{\frac{x+3}{x-2}} = 1 \)

   Per tant tenim una asímptota horitzontal en \(y=1\).

   Asímptotes obliqües.

   Com que tenim asímptotes horitzontals no podem tenir asímptotes obliqües.

   [1 punt]

2. Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció f en aquells punts en què la recta tangent sigui paral·lela a la recta \(y = –5x + 4\).

   Solució:

   El pendent la recta tangent en un punt coincideix amb el valor de la derivada en aquest punt.

   \(\displaystyle f'(x)=\frac{1\cdot(x-2)-1\cdot(x+3)}{(x-2)^2}=\frac{-5}{(x-2)^2}\)

   El pendent la recta \(y=–5x+4\) és \(–5\). Per tant l'enunciat ens demana calcular la recta tangent en els punts que verifiquin \(f'(x)=-5\)

   \( \displaystyle \begin{align} f'(x)=-5 \quad &\Rightarrow\quad \frac{-5}{(x-2)^2}=-5 \\ &\Rightarrow\quad (x-2)^2=1 \\ &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l}x=1\\x=3\end{array}\right. \end{align} \)

   Per a trobar la recta tangent farem servir l'equació punt-pendent \(y=m\cdot(x-x_0)+y_0\).

   \( \displaystyle \begin{align} \left\lbrace\begin{array}{l}x_0=1\\y_0=f(1)=-4\\m=-5\end{array}\right. \quad &\Rightarrow\quad y=-5\cdot(x-1)-4 \\ &\Rightarrow\quad \boxed{y=-5x+1} \end{align} \)

   \( \displaystyle \begin{align} \left\lbrace\begin{array}{l}x_0=3\\y_0=f(3)=6\\m=-5\end{array}\right. \quad &\Rightarrow\quad y=-5\cdot(x-3)+6 \\ &\Rightarrow\quad \boxed{y=-5x+21} \end{align} \)

   [1 punt]