Juny de 2014 - Sèrie 3 - Qüestió 6

Responeu a les qüestions següents:

1. Demostreu que si \(\boldsymbol{A}\) és una matriu quadrada que satisfà la igualtat \(\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{I}\), on \(\boldsymbol{I}\) és la matriu identitat, aleshores \(\boldsymbol{A}\) és invertible i \(\boldsymbol{A}^{-1}\) satisfà \( \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^2=\boldsymbol{I}\).

   Solució:

   \( \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{I} \quad\Rightarrow\quad \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}=\boldsymbol{I} \)

   La matriu \(\boldsymbol{A}\) multiplicada per ella mateixa per l'esquerra o per la dreta dóna la identitat \(\boldsymbol{I}\). Per tant la matriu \(\boldsymbol{A}\) és invertible i la seva inversa és ella mateixa, \(\boldsymbol{A}^{-1}=\boldsymbol{A}\). Per tant:

   \( \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right)^2=\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{I} \quad\quad\square\)

   [1 punt]

2. Calculeu l'expressió general de les matrius de la forma \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{c} a&b\\c&2 \end{array}\right) \) amb \( b \ne 0 \) que satisfan la igualtat \(\boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{I}\).

   Solució:

   \( \displaystyle \begin{align} \boldsymbol{A}^2=\boldsymbol{I} \quad &\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{c}a&b\\c&2\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c}a&b\\c&2\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left(\begin{array}{c}a^2+bc&(a+2)b\\(a+2)c&bc+4\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1&0\\0&1\end{array}\right) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{r} a^2+bc=1 \\ (a+2)b=0 \\ (a+2)c=0 \\ bc+4=1 \end{array}\right. \end{align} \)

   Com que l'enunciat diu que \(b \ne 0\), la segona equació permet afirmar que \(a=-2\). Aleshores el sistema es simplifica a:

   \( \displaystyle \left\lbrace\begin{array}{r} 4+bc=1 \\ 0=0 \\ 0=0 \\ bc+4=1 \end{array}\right. \quad\Rightarrow\quad bc=-3 \quad\Rightarrow\quad c=-\frac{3}{b} \)

   I l'expressió general de les matrius serà:

   \(\displaystyle\left(\begin{array}{c} -2&b\\-\frac{3}{b}&2\end{array}\right)\)

   [1 punt]