Juny de 2014 - Sèrie 3 - Qüestió 5

Siguin \(r\) i \(s\) les rectes de \(\mathbb{R}^3\) d'equacions \(\displaystyle r:\frac{x-2}{3}=y=\frac{z+1}{4}\) i \(s: \left( x,y,z \right) = \left(1+2\alpha,3-\alpha,4+3\alpha \right) \), amb \( \alpha \in \mathbb{R} \)

1. Comproveu que els punts mitjans dels segments que tenen un extrem situat sobre la recta \(r\) i l'altre extrem situat sobre la recta \(s\) formen un pla.

   Solució:

   Si fem servir les equacions paramètriques, un punt \(R\) de la recta \(r\) i un punt \(S\) de la recta \(s\) es poden expressar com:

   \(R \left( 2+3\beta,\beta,-1+4\beta \right) \)

   \(S \left( 1+2\alpha,3-\alpha,4+3\alpha \right) \)

   El punt mitjà \(M\left( x,y,z \right)\) entre els punts \(R\) i \(S\) serà:

   \( \displaystyle \begin{align} \left( x,y,z \right) &=\left( \frac{3+2\alpha+3\beta}{2} , \frac{3-\alpha+\beta}{2} , \frac{3+3\alpha+4\beta}{2} \right) \\[8pt] &=\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right) + \alpha\left(\frac{2}{2},\frac{-1}{2},\frac{3}{2}\right) + \beta\left(\frac{3}{2},\frac{1}{2},\frac{4}{2}\right) \end{align} \)

   Aquesta última equació és l'equació d'un pla que passa pel punt \(\displaystyle\left(\frac{3}{2},\frac{3}{2},\frac{3}{2}\right)\) i que té vectors directors \(\left(2,-1,3\right)\) i \(\left(3,1,4\right)\).

   [1 punt]

2. Trobeu l'equació general (és a dir, que té la forma \(Ax + By + Cz = D\)) del pla de l'apartat anterior.

   Solució:

   \( \displaystyle \begin{align} \left| \begin{array}{r} x-\frac{3}{2}&2&3 \\ y-\frac{3}{2}&-1&1 \\ z-\frac{3}{2}&3&4 \end{array} \right| = 0 \quad & \Rightarrow\quad 7 \left( x-\frac{3}{2} \right) -1 \left( y-\frac{3}{2} \right) -5 \left( z-\frac{3}{2} \right) = 0 \\[8pt] & \Rightarrow\quad 7x-y-5z=\frac{3}{2} \end{align} \)

   [1 punt]