Calculeu l'àrea de la regió del pla limitada en el primer quadrant per les gràfiques de les funcions \(y=x^2\), \(y=4x^2\) i \(y=9\).
La representació de l'àrea demanada és
\(x_1\) és l'abscissa del punt d'intersecció de les funcions \(y=4x^2\) i \(y=9\)
\(
\displaystyle
\left.\begin{array}{r}y=4x^2\\y=9\end{array}\right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad
\left(\frac{3}{2},9\right)
\quad\Rightarrow\quad
x_1=\frac{3}{2}
\)
I \(x_2\) és l'abscissa del punt d'intersecció de les funcions \(y=x^2\) i \(y=9\)
\(
\displaystyle
\left.\begin{array}{r}y=x^2\\y=9\end{array}\right\rbrace
\quad\Rightarrow\quad
\left(3,9\right)
\quad\Rightarrow\quad
x_2=3
\)
I l'àrea demanada és
\(
\displaystyle
\begin{align}
\text{Àrea}
&=\int^{\frac{3}{2}}_{0} (4x^2-x^2)\,\text{d}x + \int^{3}_{\frac{3}{2}} (9-x^2)\,\text{d}x \\
&=\int^{\frac{3}{2}}_{0} 3x^2\,\text{d}x + \int^{3}_{\frac{3}{2}} (9-x^2) \text{d}x \\
&=\left[ x^3 \right]^{\frac{3}{2}}_{0} + \left[ 9x-\frac{x^3}{3} \right]^{3}_{\frac{3}{2}} \\
&=9\,\text{u}^2
\end{align}
\)