Juny de 2014 - Sèrie 3 - Qüestió 3

Un nedador és al mar en un punt \(N\), situat a 3 km d'una platja recta, i just al davant d'un punt \(S\), situat a la platja arran de l'aigua; i vol anar a un punt \(A\), situat també arran de l'aigua i a 6 km del punt \(S\), de manera que el triangle \(NSA\) és rectangle en el vèrtex \(S\). El nedador neda a una velocitat constant de 3 km/h i camina a una velocitat constant de 5 km/h.

1. Si \(P\) és un punt entre el punt \(S\) i el punt \(A\) que està a una distància \(x\) de \(S\), demostreu que el temps, en hores, que necessita el nedador per a nedar del punt \(N\) al punt \(P\) i caminar des del punt \(P\) fins al punt \(A\) és determinat per l'expressió \(\displaystyle t(x) = \frac{\sqrt{x^2+9}}{3} + \frac{6-x}{5} \).

   Solució:

   Anomenem \(s_1\) a la distància entre \(N\) i \(P\) i \(s_2\) a la distància entre \(P\) i \(A\). Podem expressar aquestes dues distàncies en funció de \(x\).

   \( s_1=d(N,P)=\sqrt{x^2+9} \\[10pt] s_2=d(P,A)=6-x \)

   El temps que trigarà en total vindrà donat per l'expressió:

   \(\displaystyle t(x)=\frac{s_1}{3}+\frac{s_2}{5}=\frac{\sqrt{x^2+9}}{3}+\frac{6-x}{5}\)

   [1 punt]

2. Calculeu el valor de \(x\) que determina el temps mínim que cal per a anar del punt \(N\) al punt \(A\), passant per \(P\). Quin és el valor d'aquest temps mínim?

   Solució:

   Per a trobar el mínim de la funció \(t(x)\) calculem primer la seva derivada.

   \(\displaystyle t'(x)=\frac{x}{3\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{5}\)

   I ara igualem a zero la derivada i resolem l'equació.

   \( \displaystyle \begin{align} \frac{x}{3\sqrt{x^2+9}}-\frac{1}{5}=0 \quad &\Rightarrow 5x=3\sqrt{x^2+9} \\[10pt] &\Rightarrow 25x^2=9\left( x^2+9 \right)^2 \\[10pt] &\Rightarrow x^2=\frac{81}{16} \\[10pt] &\Rightarrow x=\pm\frac{9}{4}=\pm 2.25 \\[10pt] \end{align} \)

   El valor negatiu \(x=-2.25\) és una solució fictícia, ja que \( t'(-2.25) = 0.4 \ne 0\). Per tan l'únic candidat a extrem és el valor \(x=2.25\). Per a determinar que realment és un mínim fem una taula de monotonia.

   \( \begin{array}{c|c|c|c} x & \left(-\infty,\frac{9}{4} \right) & \frac{9}{4} & \left(\frac{9}{4},+\infty\right) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array} \)

   Per tant el valor de \(x\) que minimitza el temps és 2.25 km. I el valor d'aquest temps mínim és de 2 h.

   \( t(2.25)=2 \)

   [1 punt]

Esquema: