Juny de 2014 - Sèrie 3 - Qüestió 2

Considereu el punt \( A=\left( 1,2,3 \right) \).

1. Calculeu el punt simètric del punt \(A\) respecte de la recta d'equació.

   \(r:\left( x,y,z \right)=\left( 3+\lambda,1,3-\lambda \right)\).

   Solució:

   1r pas: Busquem l'equació del pla \(\pi'\) que passa pel punt \(A\) i que és perpendicular a \(r\). Com a vector normal podem fer servir el vector director de \(r\), és a dir \( \left( 1,0,−1 \right)\).

   Per tant és un pla d'equació \(x-z+D=0\), i si ha de passar per \(A=\left(1,2,3\right)\), aleshores \(D=2\). Per tant:

   \(\pi':\;x-z+2=0\)

   2n pas: Calculem el punt intersecció \(A'\) del pla \(\pi'\) amb la recta \(r\), substituint l'equació paràmetrica de la recta en l'equació del pla.

   \( (3+\lambda)- (3-\lambda)+2=0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1 \quad\Rightarrow\quad A'=\left( 2,1,4 \right) \)

   3r pas: Calculem el punt \(A''\) simètric del punt \(A\) respecte de la recta \(r\) fent:

   \(A''=A'+\vec{AA'}=\left( 2,1,4 \right)+\left( 1,-1,1 \right)=\boxed{\left( 3,0,5 \right)}\)

   [1 punt]

2. Calculeu el punt simètric del punt \(A\) respecte del pla que té per equació

   \( \pi: x+y+z=3 \).

   Solució:

   1r pas: Busquem l'equació de la recta \(r'\) que passa pel punt \(A\) i que és perpendicular a \(\pi\). Com a vector director podem fer servir el vector normal de \(\pi\), és a dir \( \left( 1,1,1 \right)\). Per tant l'equació vectorial d'aquesta recta serà:

   \(r':\left( x,y,z \right)=\left( 1+\lambda,2+\lambda,3+\lambda \right)\)

   2n pas: Calculem el punt intersecció \(B'\) del pla \(\pi\) amb la recta \(r'\), substituint l'equació paràmetrica de la recta en l'equació del pla.

   \( (1+\lambda)+(2+\lambda)+(3+\lambda)=3 \quad\Rightarrow\quad \lambda=-1 \quad\Rightarrow\quad B'=\left( 0,1,2 \right) \)

   3r pas: Calculem el punt \(B''\) simètric del punt \(B\) respecte del pla \(\pi\) fent:

   \(B''=B'+\vec{AB'}=\left( 0,1,2 \right)+\left( -1,-1,-1 \right)=\boxed{\left( -1,0,1 \right)}\)

   [1 punt]