Juny de 2014 - Sèrie 3 - Qüestió 1

Considereu la matriu

\( \displaystyle \boldsymbol{M}=\left(\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & a+1 & (a+1)^2 \\ 1 & a-1 & (a-1)^2 \end{array}\right) \)

per a \(a\in\mathbb{R}\).

1. Calculeu el rang de la matriu \(\boldsymbol{M}\) en funció dels valors del paràmetre \(a\).

   Solució:

   Fem servir menors de la matriu \(\boldsymbol{M}\):

   \( \left| \begin{array}{cc} 1 & a \\ 1 & a+1 \end{array} \right| = 1 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad 2 \le \text{rang}\boldsymbol{M} \le 3 \)

   \(\displaystyle \begin{align} \left|\boldsymbol{M}\right| = & \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 1 & a+1 & a^2+2a+1 \\ 1 & a-1 & a^2-2a+1 \end{array}\right| \overset{^{F'_2=F_2-F_1}}{\underset{_{F'_3=F_3-F_1}}{=}} \\[15pt] & \left|\begin{array}{crc} 1 & a & \;\;\;\;a^2 \\ 0 & 1 & \;\;\;2a+1 \\ 1 & -1 & -2a+1 \end{array}\right| \underset{_{F'_3=F_3+F_2}}{=} \\[15pt] & \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & a^2 \\ 0 & 1 & 2a+1 \\ 0 & 0 & 2 \end{array}\right| = \\[15pt] & 2 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad \text{rang}\boldsymbol{M} = 3 \end{align} \)

   [1 punt]

2. Discutiu i resoleu el sistema d'equacions lineals

   \( \displaystyle \boldsymbol{M} \cdot \left(\begin{array}{c}x\\y\\z\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1\\1\\1\end{array}\right) \)

   segons els valors del paràmetre \(a\).

   Solució:

   Si \(\text{rang}\boldsymbol{M} = 3\), aleshores el rang de la matriu ampliada també és 3.

   \( \displaystyle \left.\begin{array}{c} \text{rang}\boldsymbol{M} = 3\\ \text{rang}\boldsymbol{M'} = 3 \end{array}\right\rbrace \quad \Rightarrow \quad \)Sistema Compatible Determinat

   El sistema té solució única. El podem resoldre amb el mètode de Gauss, per exemple.

   \( \displaystyle \begin{align} \left( \begin{array}{ccc|c} 1&a&a^2&1 \\ 1&a+1&a^2+2a+1&1 \\ 1&a-1&a^2-2a+1&1 \end{array} \right) & \overset{^{F'_2=F_2-F_1}}{\underset{_{F'_3=F_3-F_1}}{\longrightarrow}} \left( \begin{array}{crc|c} 1&a&\;\;\;\;a^2&1 \\ 0&1&\;\;\; 2a+1&0 \\ 0&-1&-2a+1&0 \end{array} \right) \\ & {\underset{_{F'_3=F_3+F_2}}{\longrightarrow}} \left( \begin{array}{ccc|c} 1&a&a^2&1 \\ 0&1&2a+1&0 \\ 0&0&2&0 \end{array} \right) \\ \end{align} \)

   Aquesta matriu esglaonada correspon al sistema:

   \( \displaystyle \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&+&ay&+&a^2z&=&1 \\ &&y&+&(2a+1)z&=&0 \\ &&&&2z&=&0 \end{array}\right. \)

   I la seva solució és:

   \(x=1\), \(y=0\) i \(z=0\)

   [1 punt]