Juny de 2013 - Sèrie 4 - Qüestió 6

La funció \(f(x)\) és derivable i passa per l'origen de coordenades. La gràfica de la funció derivada és la que veieu aquí dibuixada, essent \(f'(x)\) creixent als intervals \((–\infty, –3]\) i \([2, +\infty)\).

1. Trobeu l'equació de la recta tangent a la gràfica de la funció \(f(x)\) en el punt d'abscissa \(x = 0\).

   Solució:

   L'equació de la recta tangent a la gràfica de \(y=f (x)\) en el punt d'abscissa \(a\) és

   \( y=f(a)+f'(a)(x−a)\).

   De l'enunciat, sabem que \(f(0)=0\) ("passa per l'origen de coordenades") i de la gràfica en deduïm que \(f'(0)=1\). Llavors, l'equació de la recta buscada és \(y=0+1(x − 0)\); és a dir, \(y=x\).

2. Indiqueu les abscisses dels extrems relatius de la funció \(f(x)\) i classifiqueu aquests extrems.

   Solució:

   Com que la funció \(f(x)\) és derivable, els seus extrems relatius tindran la derivada igual a zero. D'acord amb el gràfic, les abscisses d'aquests punts són \(x_1=−3\), \(x_2=1\) i \(x_3=2\). Podem classificar aquests extrems relatius mitjançant una taula de creixement i decreixement de la funció deduïda a partir del signe de la derivada.

   \( \begin{array}{c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,1) & 1 & (1,2) & 2 & (2,+\infty) \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & - & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \text{Mín} & \nearrow & \text{Màx} & \searrow & \text{Mín} & \nearrow \end{array}\)

   [1 punt per cada apartat]