Primer escrivim les equacions paramètriques de la recta \(r\)

\( \left\lbrace \begin{array}{l} x=-3+2\lambda \\ y=-4+3\lambda \\ z=3-\lambda \end{array} \right. \)

Les coordenades del punt \(R\) de la recta \(r\) es poden escriure de la forma \( R=\left( -3+2\lambda, -4+3\lambda, 3-\lambda \right)\), i les distàncies d'aquest punt a \(P\) i \(Q\) són

\( \begin{align} d(P,R) &=\sqrt{\left(-3+2\lambda-1\right)^2+\left(-4+3\lambda-0\right)^2+\left(3-\lambda+1\right)^2} \\ &=\sqrt{14\lambda^2-48\lambda+48} \end{align} \)

\( \begin{align} d(Q,R) &=\sqrt{\left(-3+2\lambda+1\right)^2+\left(-4+3\lambda-2\right)^2+\left(3-\lambda-3\right)^2} \\ &=\sqrt{14\lambda^2-44\lambda+40} \end{align} \)

Ara volem que les dues distàncies \(d(P,R)\) i \(d(Q,R)\) siguin iguals.

\( \begin{align} d(P,R)=d(Q,R) & \Rightarrow 14\lambda^2-48\lambda+48=14\lambda^2-44\lambda+40 \\ & \Rightarrow \lambda=2 \\ & \Rightarrow R=\left( 1,2,1 \right) \end{align} \)

El lloc geomètric dels punts que equidisten de \(P\) i \(Q\) és un pla \(\pi\) que passa pel punt mig \(M\) entre els dos punts

\( \displaystyle M=\frac{P+Q}{2}=(0,1,1) \)

i és perpendicular al segment \(\overline{PQ}\) que els uneix, per tant podem agafar com a vector normal el vector \(\overrightarrow{PQ}\)

\( \overrightarrow{PQ}=(-2,2,4) \).

Amb això podem calcular l'equació del pla \(\pi\)

\( −2(x−0) + 2(y−1) + 4(z−1) = 0 \quad\Rightarrow\quad x - y - 2z + 3 = 0 \)

Substituint l'expressió general dels punts de la recta \(r\), \(R = (−3 + 2\lambda, −4 + 3\lambda, 3 − \lambda)\) en l'equació del pla, obtenim

\( (-3+2\lambda) - (−4 + 3\lambda) - 2(3 − \lambda) + 3 = 0 \quad\Rightarrow\quad \lambda=2 \),

igual que en el mètode anterior.