Juny de 2013 - Sèrie 4 - Qüestió 4

Es vol construir un canal que tingui com a secció un trapezi isòsceles de manera que l'amplària superior del canal sigui el doble de l'amplària inferior i que els costats no paral·lels siguin de \(8\) metres. A la dreta teniu un esquema de la secció del canal. Trobeu el valor del segment \(L\) de la gràfica en funció de la variable \(x\) (amplària inferior del canal). [0,5 punts] Solució:

Degut a que és un trapezi isòsceles, és simètric i es verifica

\( \displaystyle 2x=L+x+L \quad\Rightarrow\quad L=\frac{x}{2} \)

2. Sabem que l'àrea d'un trapezi és igual a l'altura multiplicada per la semisuma de les bases. Comproveu que, en aquest cas, l'àrea de la secció és donada per

   \( \displaystyle A(x)= \frac{3x\sqrt{256-x^2}}{4} \)

   [0,5 punts]

   Solució:

   Com ens recorda l'enunciat, l'àrea d'un trapezi és

   \( \displaystyle A=\frac{\left(B+b \right) h }{2} \)

   Si apliquem el Teorema de Pitàgoras a un dels triangles rectangles del dibuix, podem aillar \(h\) en funció de \(x\)

   \( \displaystyle h^2+L^2=8^2 \quad\Rightarrow\quad h^2+\frac{x^2}{4}=64 \quad\Rightarrow\quad h=\frac{1}{2}\sqrt{256-x^2} \)

   D'aquesta manera l'àrea es pot expressar en funció de \(x\)

   \( \displaystyle A(x)=\frac{\left( B+b \right) h}{2} = \frac{\left( 2x+x \right) \sqrt{256-x^2}}{4} = \frac{ 3x \sqrt{256-x^2}}{4} \)

3. Calculeu el valor de \(x\) perquè l'àrea de la secció del canal sigui màxima (no cal que comproveu que és realment un màxim).

   [1 punt]

   Solució:

   Derivem la funció \(A(x)\)

   \( \displaystyle \begin{align} A'(x) & = \frac{ 3 \sqrt{256-x^2}}{4} + \frac{3x}{4} \cdot \frac{-2x}{2 \sqrt{256-x^2}} \\ & = \frac{3}{4} \left( \sqrt{256-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{256-x^2}} \right) \end{align} \)

   I igualem la derivada a zero

   \( \displaystyle \begin{align} A'(x)=0 & \Rightarrow \frac{3}{4} \left( \sqrt{256-x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{256-x^2}} \right) = 0 \\[10pt] & \Rightarrow \sqrt{256-x^2} = \frac{x^2}{\sqrt{256-x^2}} \\[10pt] & \Rightarrow x^2=128 \\[10pt] & \Rightarrow x= \pm 8\sqrt{2} \end{align} \)

   Com que \(x\) ha de ser una distància, no pot ser negativa, per tant

   \( x= 8\sqrt{2} \)

Esquema: