Juny de 2013 - Sèrie 4 - Qüestió 3

Sigui \( \displaystyle A = \left(\begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ p & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right) \).

1. Què significa que la matriu \(B\) sigui la matriu inversa de \(A\)?

   Solució:

   \( A \cdot B = B \cdot A = I \)

2. Trobeu el valor del paràmetre \(p\) perquè la matriu inversa de \(A\) i la matriu transposada de \(A\) coincideixin.

   Solució:

   Si la matriu inversa de \(A\) i la matriu transposada de \(A\) coincideixen, \(A^\top \cdot A = I\), i per tant

   \( \displaystyle \left(\begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} & 0 & p \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{rrr} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{2}{\sqrt{6}} \\ p & -\frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \end{array}\right) = \left(\begin{array}{rrr} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array}\right) \)

   Si multipliquem els elements de la primera fila de \(A^\top\) pels de la primera columna de \(A\) obtenim l'equació

   \(\displaystyle \frac{1}{2}+p^2=1\)

   \(\text{(Ec.1)}\)

   Si multipliquem els elements de la primera fila de \(A^\top\) pels de la segona columna de \(A\) obtenim l'equació

   \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-p\right)=0 \)

   \(\text{(Ec.2)}\)

   Si multipliquem els elements de la primera fila de \(A^\top\) pels de la tercera columna de \(A\) obtenim l'equació

   \(\displaystyle \frac{1}{\sqrt{6}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt{2}}-p\right)=0 \)

   \(\text{(Ec.3)}\)

   La resta de possibilitats generen altra vegada una d'aquestes equacions o una identitat numèrica. Només hi ha una solució comuna a les tres equacions que és

   \( \displaystyle p=\frac{1}{\sqrt{2}} \).

Nota: No aproximeu les arrels mitjançant valors amb decimals; treballeu amb els radicals.