Juny de 2013 - Sèrie 4 - Qüestió 2

La corba \(y=x^2\) i la recta \(y=k\), amb \(k \gt 0\), determinen una regió plana.

1. Calculeu el valor de l'àrea d'aquesta regió en funció del paràmetre \( k \).

   Solució:

   La representació de la regió és

   Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

   Els punts d'intersecció de les dues funcions s'obtenen igualant les expressions algebraiques

   \( x^2=k \quad\Rightarrow\quad x=\pm\sqrt{k} \)

   L'àrea de la regió es calcula amb la següent integral definida

   \( \displaystyle\text{Àrea} =\int^{\sqrt{k}}_{-\sqrt{k}} (k-x^2) \text{d}x= \left[ kx-\frac{x^3}{3}\right]^{\sqrt{k}}_{-\sqrt{k}}=\frac{4k\sqrt{k}}{3} \)

2. Trobeu el valor de \( k \) perquè l'àrea limitada sigui \( \sqrt{6} \; u^2 \).

   Solució:

   \(\displaystyle \frac{4k\sqrt{k}}{3}=\sqrt{6} \quad\Rightarrow\quad \frac{16k^3}{9}=6 \quad\Rightarrow\quad k^3=\frac{27}{8} \quad\Rightarrow\quad k=\frac{3}{2} \)