Setembre de 2011 - Sèrie 2 - Qüestió 6

Sigui \( \displaystyle f(a)=\int_0^{\textstyle \frac{1}{a}} \! (a^2+x^2) \, \mathrm{d} x \) per \( a>0 \).

1. Comproveu que \( \displaystyle f(a)= \frac{1}{3a^3}+a \).

   Solució:

   \( \displaystyle f(a)=\int_0^{\textstyle \frac{1}{a}} \! (a^2+x^2) \, \mathrm{d} x = \left[ a^2x+\frac{x^3}{3} \right]_0^{\textstyle \frac{1}{a}} = \frac{1}{3a^3}+a \)

2. Calculeu el valor del paràmetre \( a \) perquè la funció \( f(a) \) tingui un mínim relatiu.

   Solució:

   Perquè la funció \( f(a) \) tingui un mínim és necessari que \( f'(a)=0 \). Per tant començarem calculant la derivada de la funció.

   \( \displaystyle f(a)= \frac{1}{3a^3}+a \quad \Rightarrow \quad f'(a)= -\frac{1}{a^4}+1 \)

   I ara calcularem per a quins valors del paràmetre \( a \) s'anul·la aquesta derivada.

   \( \displaystyle -\frac{1}{a^4}+1 = 0 \quad \Rightarrow \quad a= \pm 1\)

   Com què l'enunciat ens fixa la condició \( a>0 \), l'única solució vàlida és la positiva \( a=1 \). Però encara hem de demostrar que amb aquest valor \( f(a) \) té un mínim relatiu. Per a això hem de veure si \( f''(1)>0 \).

   \( \displaystyle f''(a)= \frac{4}{a^5} \quad \Rightarrow \quad f''(1)=4>0 \quad \Rightarrow \quad \) \( f(a) \) amb la condició \( a>0 \) té un mínim quan \( a=1 \)