Setembre de 2011 - Sèrie 2 - Qüestió 5

Considereu la recta \( \displaystyle r: \; \frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-1}=z-a \) i el pla \( \pi: \; 2x+y-5z=5 \).

1. Estudieu la posició relativa de la recta \( r \) i el pla \( \pi \) en funció del paràmetre \( a \).

   Solució:

   El vector director de la recta és \( v_r = (3, −1, 1)\); el punt \( P = (1, −2, a) \) pertany a la recta \( r \). Per altra banda, el vector normal del pla \( \pi \) és \( v_π = (2, 1, −5) \). Comprovem si \( v_r \) i \( v_\pi \) són o no ortogonals,

   \( v_r · v_\pi = (3, −1, 1) · (2, 1, −5) = 3 · 2 + (−1) · 1 + 1 · (−5) = 0 \).

   Efectivament, ho són. Per tant, la recta és paral·lela al pla o la recta està continguda en el pla. Per acabar-ho de decidir, mirem si el punt \( P \) pertany o no al pla.

   \( P \in \pi \Longleftrightarrow 2 · 1 + (−2) − 5a = 5 \Longleftrightarrow a = −1 \).

   En definitiva,

   • Si \( a = −1 \), la recta està continguda al pla.
   • Si \( a \neq −1 \), la recta i el pla són paral·lels.

2. Quan \( a=3 \), calculeu la distància de la recta \( r \) al pla \( \pi \).

   Solució:

   Per trobar la distància entre una recta i un pla paral·lels, n'hi ha prou en calcular la distància d'un punt qualsevol de la recta al pla. Així,

   \( \displaystyle d(r, \pi) = d(P, \pi) = \frac{\left| 2 · 1 + (−2) − 5 · 3 − 5 \right|}{\sqrt{2^2 + 1^2 + (−5)^2}} = \frac{20}{\sqrt{30}} = \frac{2\sqrt{30}}{3} \)