Setembre de 2011 - Sèrie 2 - Qüestió 4

Sigui la matriu \( A = \left( \begin{array}{ccc} \frac{-1}{2} & \frac{-\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) \).

1. Calculeu \( A^2 \) i \( A^3 \).

   Solució:

   \( A^2 = \left( \begin{array}{ccc} \frac{-1}{2} & \frac{-\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{ \sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{ccc} \frac{-1}{2} & \frac{-\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{ \sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} \frac{-1}{2} & \frac{ \sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

   \( A^3 = A^2·A = \left( \begin{array}{ccc} \frac{-1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{-\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) ·\left( \begin{array}{ccc} \frac{-1}{2} & \frac{-\sqrt{3}}{2} & 0 \\ \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{-1}{2} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right)\)

2. Deduïu el valor de \( A^{101} \).

   Solució:

   A partir dels resultats que hem vist a l'apartat anterior es pot deduïr que:

   \( A^n = \left \lbrace \begin{array}{lll} I & si & n=3m \\ A & si & n=3m+1 \\ A^T & si & n=3m+2 \end{array} \right . \)

   Per tant \( A^{101} = A^{3·33+2} = (A^3)^{33}·A^2 = I^{33}·A^T = A^T \)

NOTA: Treballeu amb radicals; no utilitzeu la representació decimal dels elements de la matriu.