Setembre de 2011 - Sèrie 2 - Qüestió 3

Donada la funció \( f (x)=x^3+ ax^2+ bx+ c \):

1. Determineu la relació que han de complir els paràmetres \( a \), \( b \) i \( c \) perquè \( f(x) \) tingui un extrem relatiu en el punt d'abscissa \( x=-1 \).

   Solució:

   Per a resoldre aquesta i les següents qüestions ens calen la primera, la segona i la tercera derivada de la funció \( f(x) \):

   \( f'(x) = 3x^2+ 2ax+ b \)

   \( f''(x) = 6x + 2a \)

   \( f'''(x) = 6 \)

   Si \( f(x) \) ha de tenir un extrem relatiu en el punt d'abscissa \( x=-1 \), s'ha de complir que \( f'(-1)=0 \) i que \( f''(-1) \ne 0 \). Per tant:

   \( f'(-1)=0 \quad \Rightarrow \quad 3 - 2a + b = 0 \)

   \( f''(-1) \ne 0 \quad \Rightarrow \quad -6 + 2a \ne 0 \quad \Rightarrow \quad a \ne 3 \)

2. Calculeu el valor del paràmetre \( a \) perquè hi hagi un punt d'inflexió de la funció \( f(x) \) en el punt d'abscissa \( x=0 \).

   Solució:

   Si \( f(x) \) ha de tenir un punt d'inflexió en el punt d'abscissa \( x=0 \), s'ha de complir que \( f''(0)=0 \) i que \( f'''(0) \ne 0 \). Per tant:

   \( f''(0)=0 \quad \Rightarrow \quad 6·0 + 2a = 0 \quad \Rightarrow \quad a = 0 \)

   \( f''(0) \ne 0 \quad \Rightarrow \quad 6 \ne 0 \quad \) (Això ja és compleix sense haver-ne d'imposar cap condició)

3. Determineu la relació entre els paràmetres \( a \), \( b \) i \( c \) sabent que la gràfica de \( f(x) \) talla l'eix \( OX \) en el punt d'abscissa \( x=-2 \).

   Solució:

   Si la gràfica de \( f(x) \) talla l'eix \( OX \) en el punt d'abscissa \( x=-2 \), s'ha de complir que \( f(-2) = 0\). Per tant:

   \( f(-2)=0 \quad \Rightarrow \quad -8 + 4a - 2b + c = 0 \)

4. Calculeu el valor dels paràmetres \( a \), \( b \) i \( c \) perquè es compleixin les tres propietats anteriors alhora.

   Solució:

   Si s'han de complir les tres propietats alhora, hem de resoldre el següent sistema:

   \( \left . \begin{array}{rrr} 3-2a+b & = & 0 \\ a & = & 0 \\ -8+4a-2b & = & 0 \end{array} \right \rbrace \quad \Rightarrow \quad (a=0, \; b=-3, \; c=2) \)