Donada la recta \( \left . \begin{array}{rcc}
2x-y+3z & = & 2 \\
x+z+1 & = & 0 \end{array} \right \rbrace \), calculeu l'equació general (és a dir, de la forma
\( Ax + By + Cz +D= 0\) ) del pla perpendicular a la recta que passa pel punt \( P = (1, 0, –1) \).
Perquè el pla buscat i la recta donada siguin perpendiculars, el vector normal del pla i el director de la recta han de ser paral·lels; el més senzill és agafar-los iguals. Busquem, doncs, el vector director de la recta,
\( v_r = \left| \begin{array}{rr} i & j & k \\ 2 & -1 & 3 \\ 1 & 0 & 1 \end{array} \right| = - i + j + k = (-1,1,1) \).
L'equació del pla \( \pi \) amb vector normal \( v_π = (A, B, C) \), passant pel punt \( P = (x_0 , y_0 , z_0 ) \) és
\( A(x − x_0 ) + B(y − y_0 ) + C(z − z_0 ) = 0 \).
En el nostre cas, ens queda
\( (−1)(x − 1) + 1(y − 0) + 1(z + 1) = 0 \),
és a dir,
\( − x + y + z + 2 = 0 \).