Calculeu l'àrea que té l'únic recinte tancat limitat per les gràfiques de les funcions \(y=–x^2+7\) i \(y=\displaystyle\frac{6}{x}\) representat en el dibuix següent:
Primer hem de trobar els punts de tall de les dues funcions:
\( \displaystyle\frac{6}{x}=-x^2+7 \quad\Rightarrow\quad x^3-7x+6=0 \)
\( \begin{array}{r|rrrr} &1&0&-7&6 \\ 1&&1&1&-6 \\ \hline &1&1&-6&\color{grey}{0} \\ 2&&2&6& \\ \hline &1&3&\color{grey}{0} \\ -3&&3&& \\ \hline &1&\color{grey}{0} \end{array} \)
Només ens interessen els dos punts de tall d'abscissa positiva, \(x=1\) i \(x=2\).
L'àrea que ens demanen és:
\( \displaystyle \begin{align}
A &= \int_{1}^{2} -x^2+7 - \frac{6}{x} dx = \left[ - \frac{x^3}{3} + 7x - 6\ln{x} \right]_{1}^{2} = \\
&= \left( - \frac{2^3}{3} + 7·2 - 6\ln{2} \right) - \left( - \frac{1^3}{3} + 7·1 - 6\ln{1} \right) = \\
&= \frac{14}{3} - 6\ln{2} \approx 0.508 u.a.
\end{align} \)