Calculeu els valors de \(a\) tals que les tangents a la gràfica de la funció \(f(x) = ax^3 + 2x^2 + 3\) en els punts d'abscisses \(x=1\) i \(x=–1\) siguin perpendiculars entre si.
Primer calculem la derivada de \(f(x)\):
\(f'(x) = 3ax^2 + 4x\)
El pendent de la recta tangent a la gràfica en \(x=1\) és:
\(f'(1)=3a+4\)
I en \(x=-1\) és:
\(f'(-1)=3a-4\)
Si les dues rectes han de ser perpendiculars, s'ha de complir:
\(f(1)·f'(-1)=-1 \quad\Rightarrow\quad (3a+4)(3a-4)=-1 \quad\Rightarrow\quad a=\pm\displaystyle\sqrt{\frac{5}{3}} \)