Juny de 2000 - Sèrie 1 - Problema 2

Donats el pla \(\pi\) d'equació \(x + 2y + 3z – 1 = 0\), la recta \(r\) d'equacions \(\left\lbrace\begin{array}{rrrrr} x&=&2z&–&3 \\ y&=&z&+&4 \end{array}\right. \) i el punt \(P = (2, 1, 1)\), calculeu:

1. Unes equacions de la recta que passa per \(P~\) i és perpendicular a \(\pi\).

   Solució:

   Anomenem \(a\) a aquesta recta. Com que \(a\) i \(\pi\) són perpendiculars podem agafar com a vector director de \(a\) el vector normal de \(\pi\):

   \( {\vec{v}}_a={\vec{n}}_{\pi}=(1,2,3) \)

   A més sabem que \(a\) ha de passar per \( P=(2,1,1) \). Podem escriure, per exemple, les equacions contínues de \(a\):

   \( a:~~\displaystyle \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-1}{3} \)

2. L'equació del pla que passa per \(P~\) i és perpendicular a la recta \(r\).

   Solució:

   Anomenem \(\beta\) a aquest pla. El seu vector normal coincideix amb el vector director de \(r\). I el vector director de \(r\) l'obtenim transformant les equacions de l'enunciat en equacions paramètriques:

   \( \left\lbrace\begin{array}{rrrrr} x&=&2\lambda&-&3 \\ y&=&\lambda&+&4 \\ z&=&\lambda \end{array}\right. \)

   \( {\vec{n}}_{\beta}={\vec{v}}_r=(2,1,1) \)

   Per tant l'equació del pla \(\beta\) serà de la forma \( 2x+y+z+D=0 \). Imposant que el pla contingui al punt \( P=(2,1,1) \) podrem calcular \(D\).

   \( 2·2+1+1+D=0 \quad\Rightarrow\quad D=-6 \)

   I finalment:

   \( \beta:~~2x+y+z-6=0 \)

3. Unes equacions de la recta que passa per \(P~\) i talla perpendicularment \(r\).

   Solució:

   Anomenem \(c\) a aquesta recta. Necessitem conèixer primer el punt \(Q=(x,y,z)\), que és el punt de \(r\) més proper a \(P~\). Per trobar-ho anem a resoldre un sistema de tres equacions, dues d'elles són les equacions de la recta \(r\) i l'altra surt d'igualar a zero el producte escalar de \(\vec{PQ}\) amb \(\vec{v}_r\)

   \( \vec{PQ}=(x-2,y-1,z-1) \)

   \( \vec{v}_r=(2,1,1) \)

   \( \vec{PQ}·\vec{v}_r = 0 \Rightarrow (x-2,y-1,z-1)·(2,1,1) = 0 \Rightarrow 2x+y+z-6 = 0\)

   La solució del següent sistema ens donarà les coordenades de \(Q~\):

   \( \left\lbrace\begin{array}{r} x=2z-3 \\ y=z+4 \\2x+y+z-6=0 \end{array}\right. \quad\quad\Rightarrow\quad Q\displaystyle\left(-\frac{1}{3},\frac{16}{3},\frac{4}{3}\right) \)

   Una vegada tenim \(Q~\), podem agafar el vector \( \vec{PQ} = \displaystyle\left(-\frac{7}{3},\frac{13}{3},\frac{1}{3}\right) \), o millor encara el vector \( 3·\vec{PQ} = (-7,13,1) \) com a vector director de \(c\) i el punt \( P=(2,1,1) \) com un punt de la recta.

   \( c:~~\displaystyle \frac{x-2}{-7} = \frac{y-1}{13} = \frac{z-1}{1} \)

4. Unes equacions de la recta que passa per \(P~\), és paral·lela al pla \(\pi\) i tal que el seu vector director és perpendicular al de \(r\).

   Solució:

   Anomenem \(d\) a aquesta recta. El seu vector director \(\vec{v}_d\) ha de ser ortogonal a \(\vec{v}_r\) i a \(\vec{n}_{\pi}\). Per tant:

   \( \vec{v}_d = \vec{v}_r \times \vec{n}_{\pi} = (1,2,3) \times (2,1,1) = (-1,5,-3) \)

   I com que la recta passa pel punt \( P=(2,1,1) \):

   \( d:~~\displaystyle \frac{x-2}{-1} = \frac{y-1}{5} = \frac{z-1}{-3} \)