Juny de 2000 - Sèrie 1 - Problema 1

Un terreny té forma de triangle rectangle, els catets mesuren \( AB = 60 \; m \) i \( AC = 45 \; m \). En aquest terreny es pot construir una casa de planta rectangular com indica la part ombrejada de la figura següent:

Voleu vendre aquest terreny i us paguen 5.000 pessetes per cada metre quadrat no edificable i 25.000 pessetes per cada metre quadrat edificable.

1. Determineu la relació que hi ha entre l'amplada \( x \) i la profunditat \( y \) del rectangle que determina la part edificable.

   Solució:

   Podem determinar aquesta relació fent ús de les semblances entre els triangles que apareixen a la figura. Concretament, si ens fixem en el triangle petit de l'esquerra i el triangle total:

   \( \displaystyle \frac{y}{60-x} = \frac{45}{60} \quad \Rightarrow \quad 3x + 4y = 180 \)

2. Determineu l'expressió que dóna el valor del terreny en funció de l'amplada \( x \) del rectangle edificable.

   Solució:

   El preu del terreny edificable és:

   \( 25.000xy \)

   L'àrea que queda sense edificar és la de tot el terreny triangular, \(1350 \; m^2 \), menys la del rectangle edificat. Per tant el preu del terreny no edificable és:

   \( 5.000(1.350-xy) \)

   El preu total ens queda expressat com a una funció de dues variables:

   \( Preu=6.750.000 + 20.000xy \)

   Però, amb l'ajuda de la relació del apartat a, la podrem escriure com una funció de només una variable:

   \begin{align} \displaystyle 3x + 4y = 180 & \quad \Rightarrow \quad y = 45-\frac{3x}{4} \\ & \quad \Rightarrow \quad Preu=6.750.000 +900.000x-15.000x^2 \\ & \quad \Rightarrow \quad Preu=15.000(-x^2 + 60x +450) \\ \end{align}

3. Quines són les dimensions de la part edificable que ens permeten obtenir un valor màxim per a aquest terreny?

   Solució:

   Hem de maximitzar la funció preu. Podem ignorar el factor 15.000 per ser una constant positiva i treballar només amb l'expressió que ens queda entre parèntesis. Comencem derivant-la un parell de vegades:

   \( f(x)=-x^2 + 60x +450 \quad \Rightarrow \quad f'(x)=-2x+60 \quad \Rightarrow \quad f''(x)=-2\)

   El màxim d'aquesta funció ha de complir: \( f'(x) = 0 \). Per tant \( x=30 \). I per confirmar que efectivament és un màxim hem de veure quin és el signe de la segona derivada quan \( x=30 \).

   \( f''(30)=-2 \lt 0 \quad \Rightarrow \quad f(x)\) presenta un màxim quan \( x=30 \; m\) i \( y=\text{22,5} \; m\).

   Aquest és un applet de Java creat amb el GeoGebra des de www.geogebra.org, sembla que no teniu instal·lat el Java, si us plau, visiteu www.java.com

4. Quin és aquest valor màxim?

   Solució:

   El preu màxim és:

   \( 6.750.000 + 20.000·30·\text{22,5} = 20.250.000 \) pessetes