S'anomena producte mixt de tres vectors \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\) i es designa \(\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right]\) el nombre real obtingut de l'expressió:
\(\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right] = \vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) \)
Aquest producte és equivalent al determinant format pels components canònics dels tres vectors disposats en columnes:
\(\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right] = \left|\begin{array}{ccc} u_1 & v_1 & w_1\\ u_2 & v_2 & w_2 \\ u_3 & v_3 & w_3 \end{array}\right| \)
\( \vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) = \vec{v}\cdot\left(\vec{w}\times\vec{u}\right) = \vec{w}\cdot\left(\vec{u}\times\vec{v}\right) = - \vec{u}\cdot\left(\vec{w}\times\vec{v}\right) = - \vec{v}\cdot\left(\vec{u}\times\vec{w}\right) = - \vec{w}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{u}\right) \)
\( \lambda\Big[\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)\Big] = \lambda\vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) = \vec{u}\cdot\left(\lambda\vec{v}\times\vec{w}\right) = \vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\lambda\vec{w}\right) = \)
\( \left(\vec{r}+\vec{s}\right)\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) = \vec{r}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) + \vec{s}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right) \)
\( \vec{u},\,\vec{v},\,\vec{w}\;\;\;\mathsf{v.l.d.} \quad\Leftrightarrow\quad \vec{u}\cdot\left(\vec{v}\times\vec{w}\right)=0 \)
Exercici 40
Donats els vectors \(\vec{a}=(3,1,4)\), \(\vec{b}=(0,-1,3)\) i \(\vec{c}=(5,1,2)\), calcula:
| a) \(\;\;\vec{a}\cdot\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)\) | Solució: | |
| b) \(\;\;\vec{b}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{c}\right)\) | Solució: | |
| c) \(\;\;\vec{c}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\) | Solució: | |
| d) \(\;\;\vec{a}\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\) | Solució: | |
| e) \(\;\;3\vec{a}\cdot\left(2\vec{b}\times5\vec{c}\right)\) | Solució: | |
| f) \(\;\;\left(2\vec{c}+3\vec{a}\right)\cdot\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\) | Solució: |
Exercici 41
Calcula:
| a) \(\;\;\vec{e}_1\cdot\left(\vec{e}_2\times\vec{e}_3\right)\) | Solució: | |
| b) \(\;\;\vec{e}_3\cdot\left(\vec{e}_3\times\vec{e}_1\right)\) | Solució: | |
| c) \(\;\;\vec{e}_1\cdot\left(\vec{e}_2\times\vec{e}_1\right)\) | Solució: |
Volum d'un paral·lelepípede
Si \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\) són tres vectors de \(V_3\) linealment independents, aleshores el valor absolut de \(\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right]\) és igual al volum del paral·lelepípede definit pels tres vectors amb origen comú.
\(\bbox[15px,border:1px solid]{ \displaystyle V=\bigg|\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right]\bigg| }\)
Volum d'un tetraedre
Si \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\) són tres vectors de \(V_3\) linealment independents, aleshores el volum del tetraedre definit pels tres vectors amb origen comú és una sexta part del valor absolut de \(\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right]\).
\(\bbox[15px,border:1px solid]{ \displaystyle V=\frac{1}{6}\bigg|\left[\vec{u},\vec{v},\vec{w}\right]\bigg| }\)
Exercici 42
Troba el volum del tetraedre determinat pels punts \(A(1,2,4)\), \(B(3,0,3)\), \(C(4,0,1)\) i \(D(0,-2,-3)\).
| Solució: |
Exercici 43
Troba el volum del tetraedre determinat pels vectors \(\vec{a}=(3,5,1)\), \(\vec{b}=(2,2,2)\) i \(\vec{c}=(-2,-1,0)\).
| Solució: |
Exercici 44
Donats els vectors \(\vec{u}=(0,1,1)\) i \(\vec{v}=(3,-2,-2)\), troba:
a) el seu producte vectorial,
| Solució: |
b) un vector unitari perpendicular als dos vectors,
| Solució: |
c) l'àrea del paral·lelogram que es pot dibuixar a partir de \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\)
| Solució: |
d) i el volum del paral·lelepípede que es genera a partir dels vectors \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{u}\times\vec{v}\)
| Solució: |