Donats dos vectors \(\vec{u}=\left(u_1,u_2,u_3\right)\) i \(\vec{v}=\left(v_1,v_2,v_3\right)\), s'anomena producte vectorial, i es simbolitza \(\vec{u}\times\vec{v}\), el vector obtingut de l'expressió:
\( \begin{align} \vec{u}\times\vec{v} &=\left|\begin{array}{ccc} \vec{e}_1 & u_1 & v_1 \\ \vec{e}_2 & u_2 & v_2 \\ \vec{e}_3 & u_3 & v_3 \end{array}\right| \\[10pt] &=\left(u_2v_3-u_3v_2\right)\vec{e}_1+\left(u_3v_1-u_1v_3\right)\vec{e}_2+\left(u_1v_2-u_2v_1\right)\vec{e}_3 \\[10pt] &=\left(u_2v_3-u_3v_2,\, u_3v_1-u_1v_3,\,u_1v_2-u_2v_1\right) \end{align} \)
Observacions:
El producte vectorial de dos vectors és un vector.
L'expressió per calcular el producte vectorial de dos vectors no és un determinant perquè la seva primera columna està formada per vectors i no per nombres reals, i també perquè el seu resultat final no és un nombre real sinó que és un vector. Tot i això s'escriu i es calcula com si fos un determinant.
Si els vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) són linealment independents, aleshores el producte vectorial \(\vec{u}\times\vec{v}\) és un vector perpendicular a tots dos.
Si els vectors \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\) són linealment dependents, aleshores el producte vectorial \(\vec{u}\times\vec{v}\) és el vector nul \(\vec{0}\).
Com a cas particular \(\vec{u}\times\vec{u}=\vec{0}\).
Exercici 32
Donats els vectors \(\vec{u}=(5,1,3)\) i \(\vec{v}=(-2,0,1)\), calcula el vector \(\vec{w}=\vec{u}\times\vec{v}\) i comprova que és perpendicular a \(\vec{u}\) i \(\vec{v}\).
| Solució: |
El mòdul del producte vectorial de dos vectors \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\) es calcula amb l'expressió:
\(\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\sin\alpha\)
on \(\alpha\) és el més petit dels dos angles \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).
El sentit és el d'avanç d'un tirabuixó que giri del vector \(\vec{a}\) al vector \(\vec{b}\) segons el menor angle possible. Aquesta direcció també es pot trobar amb la regla de la mà dreta.
Exercici 33
Donats els vectors \(\vec{u}=(3,-2,1)\) i \(\vec{v}=(1,1,4)\),
| a) calcula \(\vec{u}\times\vec{v}\) | Solució: | |
| b) i calcula el més petit dels dos angles que formen. | Solució: |
Exercici 34
Determina tots els vectors de mòdul \(15\) que són ortogonals als vectors \(\vec{a}=(-2,1,2)\) i \(\vec{b}=(2,1,-6)\).
| Solució: |
Anticommutativa:
\(\vec{u}\times\vec{v}=-\vec{v}\times\vec{u}\)
Distributiva respecte a la suma de vectors:
\(\vec{u}\times\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}\times\vec{v}+\vec{u}\times\vec{w}\)
Associativa del producte d'un nombre real pel producte vectorial de dos vectors:
\(k\,(\vec{u}\times\vec{v})=(k\,\vec{u})\times\vec{v}=\vec{u}\times(k\,\vec{v})\)
Exercici 35
Calcula els següents productes vectorials:
| \(\vec{e}_1\times\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_1\times\vec{e}_2=\) | \(\vec{e}_1\times\vec{e}_3=\) |
| \(\vec{e}_2\times\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_2\times\vec{e}_2=\) | \(\vec{e}_2\times\vec{e}_3=\) |
| \(\vec{e}_3\times\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_3\times\vec{e}_2=\) | \(\vec{e}_3\times\vec{e}_3=\) |
Exercici 36
Donats els vectors \(\vec{a}=(5,-1,0)\), \(\vec{b}=(1,1,2)\) i \(\vec{c}=(4,0,-2)\), comprova si es verifica la propietat associativa.
\(\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right)=\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\times\vec{c}\)
Exercici 37
Donats els vectors \(\vec{a}=(0,1,-2)\), \(\vec{b}=(-1,3,-1)\) i \(\vec{c}=(2,0,1)\), calcula l'expressió:
\(\vec{a}\times\left(\vec{b}\times\vec{c}\right) + \vec{b}\times\left(\vec{c}\times\vec{a}\right) + \vec{c}\times\left(\vec{a}\times\vec{b}\right)\)
| Solució: |
Àrea d'un paral·lelogram
El mòdul del producte vectorial de dos vectors es pot interpretar com l'àrea del paral·lelogram que té per costats els vectors \(\vec{a}\) i \(\vec{b}\).
\(A=\left|\vec{a}\right|\,h=\left|\vec{a}\right|\,\left|\vec{b}\right|\,\sin\alpha=\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|\)
Àrea d'un triangle
\(\displaystyle A=\frac{1}{2}\,\left|\vec{a}\times\vec{b}\right|=\frac{1}{2}\,\left|\vec{PQ}\times\vec{PR}\right|\)
Exercici 38
Els punts \(A(3,4,2)\), \(B(4,0,1)\) i \(C(5,6,5)\) són tres vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram. Calcula la seva àrea.
| Solució: |
Exercici 39
Els punts \(A(0,1,2)\), \(B(4,0,1)\) i \(C(5,6,5)\) són els tres vèrtexs d'un triangle. Calcula la seva altura sobre el costat \(AB\).
| Solució: |