Donats dos vectors \(\vec{u}=\left(u_1,u_2,u_3\right)\) i \(\vec{v}=\left(v_1,v_2,v_3\right)\), s'anomena producte escalar d'aquests dos vectors al nombre real:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = \left|\vec{u}\right| \, \left|\vec{v}\right| \cos\alpha\)
on \(\left|\vec{u}\right|\) i \(\left|\vec{v}\right|\) són els mòduls dels dos vectors i \(\alpha\) l'angle que formen.
També es pot calcular el producte escalar a partir dels components en la base canònica:
\(\vec{u} \cdot \vec{v} = u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3\)
Observacions:
Tot i que es tracta d'una operació entre vectors, el resultat del producte escalar és un nombre real.
Dos vectors defineixen dos angles, \(\alpha\) i \(360^{\circ}-\alpha\), però degut a que \(\cos(360^{\circ}-\alpha)=\cos\alpha\), la definició de producte escalar no presenta cap ambigüitat.
Si algun dels vectors és \(\vec{0}\), aleshores els vectors no formen cap angle, però el producte escalar és \(0\) perquè la fórmula a partir dels components canònics segueix sent vàlida.
Commutativa:
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=\vec{v}\cdot\vec{u}\)
Distributiva respecte a la suma de vectors:
\(\vec{u}\cdot\left(\vec{v}+\vec{w}\right)=\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{u}\cdot\vec{w}\)
Associativa del producte d'un nombre real pel producte escalar de dos vectors:
\(k\,(\vec{u}\cdot\vec{v})=(k\,\vec{u})\cdot\vec{v}=\vec{u}\cdot(k\,\vec{v})\)
Relació entre el mòdul d'un vector i \(\vec{u}\cdot\vec{u}\)
\(\vec{u}\cdot\vec{u}=\left|\vec{u}\right|^2\)
El producte escalar de dos vectors permet calcular l'angle que formen.
\(\displaystyle \cos\alpha=\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left|\vec{u}\right|\,\left|\vec{v}\right|}\)
El producte escalar de dos vectors ortogonals (perpendiculars) és zero.
\(\vec{u}\perp\vec{v}\quad\Rightarrow\quad\vec{u}\cdot\vec{v}=0\)
\(\vec{u}\cdot\vec{v}=0\quad\Rightarrow\quad\left\lbrace\begin{align}\vec{u}=0\\\vec{v}=0\\\vec{u}\perp\vec{v}\end{align}\right.\)
El producte escalar de dos vectors és igual al mòdul d'un d'ells per la projecció de l'altre sobre el primer.
\(\vec{OA}\cdot\vec{OB}=\left|\vec{OA}\right|\,\left|\vec{OB}\right|\,\cos \alpha=\left|\vec{OA}\right|\,OP\)
\(\displaystyle\vec{a}_{|b} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\left|\vec{b}\right|}=\vec{a}\cdot\vec{u}_b\)
\(\vec{a}_{|b}\): projecció del vector \(\vec{a}\) en la direcció definida pel vector \(\vec{b}\).
\(\vec{u}_b\): vector unitari en la direcció de \(\vec{b}\).
Exercici 25
Calcula la projecció del vector \(\vec{v}=(3,-2,6)\) sobre la direcció determinada pel vector \(\vec{a}=(5,1,0)\)
| Solució: |
Exercici 26
Calcula la projecció del vector \(\vec{v}=(1,5,2)\) sobre la direcció determinada pel vector \(\vec{a}=(0,0,5)\)
| Solució: |
Exercici 27
Donats els següents vectors \(\vec{a}=(-1,2,-1)\), \(\vec{b}=(2,-1,-1)\), \(\vec{c}=(3,-3,2)\) i \(\vec{d}=(1,3,-1)\), esbrina quins són perpendiculars.
| Solució: |
Exercici 28
Calcula l'angle que formen els vectors \(\vec{v}=(3,3,1)\) i \(\vec{w}=(1,2,4)\).
| Solució: |
Exercici 29
Donats els vectors \(\vec{a}=(3,2,t)\) i \(\vec{b}=(6,4,4)\), troba el valor de \(t\) que fa que els vectors siguin:
| a) paral·lels | Solució: | |
| b) perpendiculars | Solució: |
Exercici 30
Troba els components d'un vector \(\vec{u}\), sabent que el seu mòdul és \(9\) i que és ortogonal als vectors \(\vec{v}=(2,1,0)\) i \(\vec{w}=(1,0,4)\).
| Solució: |
Exercici 31
Calcula els següents productes escalars:
| \(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_2=\) | \(\vec{e}_1\cdot\vec{e}_3=\) |
| \(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_2=\) | \(\vec{e}_2\cdot\vec{e}_3=\) |
| \(\vec{e}_3\cdot\vec{e}_1=\) | \(\vec{e}_3\cdot\vec{e}_2=\) | \(\vec{e}_3\cdot\vec{e}_3=\) |