En l'espai vectorial \(V_2\):
les combinacions lineals d'un vector \(\vec{v_1}\) generen vectors amb la mateixa direcció que \(\vec{v_1}\).
\(\lambda\vec{v_1} \;||\; \vec{v_1} \)
les combinacions lineals de dos vectors linealment dependents \(\vec{v_1}\) i \(\vec{v_2}\) també generen vectors amb la mateixa direcció.
\(\vec{v_1}, \vec{v_2}\textrm{ v.l.d. } \quad\Rightarrow\quad \lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2} \;||\; \vec{v_1} \)
les combinacions lineals de dos vectors linealment independents \(\vec{v_1}\) i \(\vec{v_2}\) poden generar qualsevol vector del pla.
qualsevol conjunt de tres o més vectors és linealment dependent.
Si \(\vec{v_1}\) i \(\vec{v_2}\) són dos vectors del pla linealment independents, aleshores qualsevol vector \(\vec{v}\) del pla es pot expressar unívocament com a una combinació lineal d'aquests dos vectors:
\(\lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}\)
Aquest dos vectors \(\left\lbrace\vec{v_1},\vec{v_2}\right\rbrace\) es diu que formen una base de l'espai vectorial \(V_2\). Els nombres \(\lambda_1\) i \(\lambda_2\) s'anomenen components del vector en aquesta base.
La base \(\Big\lbrace(1,0),(0,1)\Big\rbrace\) s'anomena base canònica del pla \(V_2\) i els components en aquesta base s'anomenen components canònics.
En l'espai vectorial \(V_3\):
les combinacions lineals d'un vector \(\vec{v_1}\) generen vectors amb la mateixa direcció que \(\vec{v_1}\).
\(\lambda\vec{v_1} \;||\; \vec{v_1} \)
les combinacions lineals de dos vectors linealment dependents \(\vec{v_1}\) i \(\vec{v_2}\) també generen vectors amb la mateixa direcció.
\(\vec{v_1}, \vec{v_2}\textrm{ v.l.d. }\quad\Rightarrow\quad\lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2} \;||\; \vec{v_1} \)
les combinacions lineals de dos vectors linealment independents \(\vec{v_1}\) i \(\vec{v_2}\) generen vectors coplanaris.
les combinacions lineals de tres vectors linealment dependents \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\) i \(\vec{v_3}\) generen vectors amb la mateixa direcció, si \(\textrm{rang}\left( \vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3} \right)=1\) o coplanaris, si \(\textrm{rang}\left( \vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3} \right)=2\).
les combinacions lineals de tres vectors linealment independents \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\) i \(\vec{v_3}\) poden generar qualsevol vector de l'espai.
qualsevol conjunt de quatre o més vectors és linealment dependent.
Si \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\) i \(\vec{v_3}\) són tres vectors de \(V_3\) linealment independents, aleshores qualsevol vector \(\vec{v}\) de l'espai es pot expressar unívocament com a una combinació lineal d'aquests tres vectors:
\(\lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}+\lambda_3\vec{v_3}\)
Aquest tres vectors \(\left\lbrace\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\right\rbrace\) es diu que formen una base de l'espai vectorial \(V_3\). Els nombres \(\lambda_1\), \(\lambda_2\) i \(\lambda_3\) s'anomenen components del vector en aquesta base.
La base \(\Big\lbrace(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)\Big\rbrace\) s'anomena base canònica de l'espai \(V_3\) i els components en aquesta base s'anomenen components canònics.
Exemple
Volem trobar els components del vector \(\vec{a}=(1,8,3)\) en la base \(\displaystyle B=\Big\lbrace (1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) \Big\rbrace\).
El primer que hem de fer és verificar que \(B\) és una base comprovant que els seus vectors són 3 v.l.i.:
\(\left| \begin{array}{ccc} 1&1&0 \\ 1&0&1 \\ 0&1&1 \end{array} \right| = -2 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad B\) és una base
Ara hem de trobar els components resolent la següent igualtat:
\((1,8,3)=\lambda_1(1,1,0)+\lambda_2(1,0,1)+\lambda_3(0,1,1)\)
Equivalent al següent sistema compatible determinat de tres equacions amb tres incògnites
\( \begin{align} \left.\begin{array}{rcrcrcr} \lambda_1&+&\lambda_2& & &=&1\\[10pt] \lambda_1& & &+&\lambda_3&=&8\\[10pt] & &\lambda_2&+&\lambda_3&=&3 \end{array}\right\rbrace\quad &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} \lambda_1=3\\[10pt] \lambda_2=-2\\[10pt] \lambda_3=5 \end{array}\right.\\[18pt] &\Rightarrow\quad (1,8,3)=3(1,1,0)-2(1,0,1)+5(0,1,1)\\[18pt] &\Rightarrow\quad (1,8,3)=(3,-2,5)_B \end{align} \)
Exercici 18
Esbrina si els següents conjunts de vectors són base de \(V_2\):
Exercici 19
Esbrina si els següents conjunts de vectors són base de \(V_3\):
Exercici 20
Els components del vector \(\vec{v}\) de \(V_3\) en la base \(\displaystyle B=\Big\lbrace (1,4,2),(3,0,1),(5,1,0) \Big\rbrace\) són \( (-1,2,3)_B \), troba els seus components en la base canònica.
| Solució: |
Exercici 21
Els components del vector \(\vec{v}\) de \(V_3\) en la base canònica són \( (-1,-8,2) \), troba els seus components en la base \(\displaystyle B=\Big\lbrace (3,1,0),(1,0,1),(0,2,1) \Big\rbrace\).
| Solució: |
Exercici 23
Els punts \(A(-2,-1,3)\), \(B(1,0,4)\), \(C(-1,1,4)\) i \(D(-1,-1,3)\) són coplanaris?
| Solució: |