Donat un conjunt de vectors \(\left\lbrace \vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_n} \right\rbrace\), s'anomena combinació lineal d'aquests vectors a qualsevol expressió del tipus:
\(\displaystyle\sum_{i=1}^n \lambda_i\vec{v_i}=\lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}+\ldots+\lambda_n\vec{v_n}\), amb \(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\in\mathbb{R}\)
Exemple
Donats els vectors \(\vec{v_1}=\left( 3,4,1 \right)\), \(\vec{v_2}=\left( 5,0,-2 \right)\) i \(\vec{v_3}=\left( 0,1,0 \right)\), un exemple de combinació lineal és el vector \(3\vec{v_1}-2\vec{v_2}+\vec{v_3}\), els components del qual són:
\(3\vec{v_1}-2\vec{v_2}+\vec{v_3}=3\left( 3,4,1 \right)-2\left( 5,0,-2 \right)+\left( 0,1,0 \right)=\left( -1,13,7 \right)\)
Un vector \(\vec{v_1}\) és combinació lineal dels vectors \(\left\lbrace \vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_n} \right\rbrace\) si existeixen uns nombres reals \(\lambda_1\), \(\lambda_2\), ..., \(\lambda_n\) que verifiquen:
\(\vec{v}=\lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}+\ldots+\lambda_n\vec{v_n}\)
Exemple
Volem saber si el vector \(\vec{v}=\left(17,8,-9\right)\) es pot escriure com a combinació lineal dels vectors \(\vec{v_1}=\left( 3,1,-2 \right)\), \(\vec{v_2}=\left( 1,1,1 \right)\) i \(\vec{v_3}=\left( 0,-1,1 \right)\).
Per esbrinar-ho hem de trobar uns coeficients reals \(a\), \(b\) i \(c\) tals que:
\(\displaystyle \begin{align} \vec{v}=a\,\vec{v_1}+b\,\vec{v_2}+c\,\vec{v_3} \quad &\Rightarrow\quad \left(17,8,-9\right) = a\left( 3,1,-2 \right)+b\left( 1,1,1 \right)+c\left( 0,-1,1 \right) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left(17,8,-9\right) = \left( 3a+b,a+b-c,-2a+b+c \right) \\[8pt] &\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{rrr} 3a+b&=&17\\a+b-c&=&8\\-2a+b+c&=&-9 \end{array}\right. \end{align} \)
El problema, per tant, és equivalent a resoldre un sistema d'equacions
\(\displaystyle \left.\begin{array}{rrr} 3a+b&=&17\\a+b-c&=&8\\-2a+b+c&=&-9 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace\begin{array}{l} a=5\\b=2\\c=-1 \end{array}\right. \)
En aquest cas, el problema té solució i el vector \(\vec{v}\) es pot escriure com a combinació lineal de \(\vec{v_1}\), \(\vec{v_2}\) i \(\vec{v_3}\).
\(\vec{v}=5\vec{v_1}+2\vec{v_2}-\vec{v_3}\)
Exercici 10
Expressa el vector \(\vec{v}=\left( 8,1,3 \right)\) com a combinació lineal dels vectors \(\vec{v_1}=\left( 2,1,1 \right)\) i \(\vec{v_2}=\left( 1,2,1 \right)\).
| Solució: |
Exercici 11
Expressa el vector \(\vec{v}=\left( 11,21,0 \right)\) com a combinació lineal dels vectors \(\vec{v_1}=\left( 3,0,2 \right)\), \(\vec{v_2}=\left( 2,3,-1 \right)\) i \(\vec{v_3}=\left( 5,-6,8 \right)\).
| Solució: |
Exercici 12
Expressa com a combinació lineal de \(\left\lbrace\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}\right\rbrace\), els següents vectors:
| a) \(\vec{v_1}\) | Solució: | |
| b) \(-\vec{v_3}\) | Solució: | |
| c) \(\vec{0}\) | Solució: |
Exercici 13
Donats dos vectors de \(V_3\),
Els vectors \(\left\lbrace\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_n}\right\rbrace\) són linealment independents si cap d'ells es combinació lineal dels altres. I són linealment dependents si algun d'ells es pot expressar com a combinació lineal dels altres.
Exemple
Els vectors \(\vec{a}=(-3,1)\) i \(\vec{b}=(9,-3)\) de \(V_2\) són v.l.d. perquè podem escriure un d'ells com a c.l. de l'altre:
\(\vec{b}=-3\vec{a}\)
Els vectors \(\vec{c}=(3,5)\) i \(\vec{d}=(2,1)\) de \(V_2\) són v.l.i. perquè no podem escriure cap d'ells com a c.l. de l'altre.
Els vectors \(\vec{f}=(1,5,0)\) i \(\vec{g}=(3,0,4)\) de \(V_3\) són v.l.i. perquè no podem escriure cap d'ells com a c.l. de l'altre.
Els vectors \(\vec{p}=(1,2,3)\) i \(\vec{q}=(2,4,6)\) de \(V_3\) són v.l.d. perquè podem escriure un d'ells com a c.l. de l'altre:
\(\vec{q}=2\vec{p}\)
Els vectors \(\vec{r}=(1,1,0)\), \(\vec{s}=(0,0,1)\) i \(\vec{t}=(4,4,-1)\) de \(V_3\) són v.l.d. perquè podem escriure un d'ells com a c.l. dels altres dos.
\(\vec{t}=4\vec{r}-\vec{s}\)
Una definició alternativa equivalent és la següent:
Els vectors \(\left\lbrace\vec{v_1},\vec{v_2},\ldots,\vec{v_n}\right\rbrace\) són linealment independents si la igualtat:
\(\lambda_1\vec{v_1}+\lambda_2\vec{v_2}+\ldots+\lambda_n\vec{v_n}=\vec{0}\)
només es verifica per a \(\lambda_1=\lambda_2=\ldots=\lambda_n=0\). Si la igualtat anterior admet alguna solució més, aleshores els vectors són linealment dependents.
Exemple
Volem saber si els vectors \(\vec{v_1}=(1,3,2)\), \(\vec{v_2}=(2,3,-1)\) i \(\vec{v_3}=(0,0,1)\) són vectors linealment dependents o independents. Plantegem l'equació
\(a \vec{v_1} + b \vec{v_2} + c \vec{v_3} = \vec{0}\)
Aquesta equació és equivalent al següent sistema homogeni de tres equacions amb tres incògnites
\( \left.\begin{array}{rcrcrcr} a&+&2b& & &=&0\\[10pt] 3a&+&3b& & &=&0\\[10pt] 2a&-& b&+& c&=&0 \end{array}\right\rbrace \)
El determinant de la matriu de coeficients és no nul.
\( \left|\begin{array}{rrr} \;1& 2&\;0\\[10pt] \;3& 3&\;0\\[10pt] \;2&-1&\;1 \end{array}\;\right| = -3 \ne 0 \)
Per tant aquest sistema és compatible determinat, només té la solució trivial i els vectors són linealment independents.
Dependència o independència lineal de tres vectors de \(V_3\)
Siguin \(\vec{u}\), \(\vec{v}\) i \(\vec{w}\), tres vectors de \(V_3\) i sigui \(D\left( \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right)\) el determinant format pels components dels vectors disposats en columnes. Aleshores:
\( D\left( \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right) = 0 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right\rbrace \;\mathsf{v.l.d.} \\[10pt] D\left( \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right) \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \left\lbrace \vec{u},\vec{v},\vec{w} \right\rbrace \;\mathsf{v.l.i.} \)
Exercici 14
Esbrina si són linealment dependents o independents els següents vectors:
\(\vec{a_1}=(1,2,4)\) i \(\displaystyle \vec{a_2}=\left(\frac{1}{2},1,2\right)\)
| Solució: |
\(\vec{b_1}=(13,15)\) i \(\vec{b_2}=(26,35)\)
| Solució: |
\(\vec{c_1}=(1,3,0)\), \(\vec{c_2}=(3,9,0)\) i \(\vec{c_3}=(1,-1,5)\)
| Solució: |
\(\vec{d_1}=(1,1,0)\), \(\vec{d_2}=(1,0,1)\) i \(\vec{d_3}=(0,1,1)\)
| Solució: |
Exercici 15
Existeix algun valor de \(\lambda\) que faci que els vectors \(\vec{v_1}=\left( 20,4,\lambda \right)\) i \(\vec{v_2}=\left( 15,3,9 \right)\) siguin linealment dependents. Justifica la resposta.
| Solució: |
Exercici 16
Existeix algun valor de \(\lambda\) que faci que els vectors \(\vec{v_1}=\left( 10,5,\lambda \right)\) i \(\vec{v_2}=\left( 5,1,4 \right)\) siguin linealment dependents. Justifica la resposta.
| Solució: |
Exercici 17
Troba el valor de \(\lambda\) perquè \(\vec{v_1}=\left( 1,-1,2 \right)\), \(\vec{v_2}=\left( 3,4,-1 \right)\) i \(\vec{v_3}=\left( 0,\lambda,-1 \right)\) siguin linealment dependents.
| Solució: |