La suma de dos vectors de l'espai, \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\) i \(\vec{b}=(b_1,b_2,b_3)\), es calcula de manera anàloga a la suma de dos vectors del pla. El resultat és altre vector de components \((a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3)\).
\(\vec{a}+\vec{b}=\left(a_1+b_1,a_2+b_2,a_3+b_3\right)\)
Gràficament, si es fa coincidir l'origen de \(\vec{b}\) amb l'extrem de \(\vec{a}\), aleshores el vector suma és un vector que té per origen l'origen de \(\vec{a}\) i per extrem l'extrem de \(\vec{b}\).
També es verifica la regla del paral·lelogram. Si es dibuixen els dos vectors amb el origen en comú, i es dibuixen rectes paral·leles a cada vector que passin per l'extrem de l'altre vector, aleshores s'obté un paral·lelogram, la diagonal del qual coincideix amb la suma de vectors.
Aquesta regla es pot generalitzar a la suma de tres vectors amb la regla del paral·lelelíped. Si es dibuixen els tres vectors amb el origen en comú, i es dibuixen rectes paral·leles a cada vector que passin per l'extrem dels altres dos, aleshores s'obté un paral·lelepíped, la diagonal del qual coincideix amb la suma de vectors.
Dos vectors són oposats l'un de l'altre si tenen el mateix modul i la mateixa direcció, però sentits contraris. L'oposat d'un vector \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\), és altre vector, \(-\vec{a}\), els components del qual els de \(\vec{a}\) canviats de signe.
\(-\vec{a}=(-a_1,-a_2,-a_3)\)
Com que restar un vector és el mateix que sumar l'oposat, la subtracció de vectors queda també definida.
\(\vec{a}-\vec{b}=\vec{a}+\left(-\vec{b}\right)=\left(a_1-b_1,a_2-b_2,a_3-b_3\right)\)
Commutativa:
\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)
Associativa:
\(\vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c}\)
Existència d'element neutre: és el vector nul \(\vec{0}=(0,0,0)\)
\(\vec{a}+\vec{0}=\vec{a}\)
Existència d'element simètric: cada vector \(\vec{a}\) té un vector simètric sumat amb \(\vec{a}\) dóna el vector nul. És el vector oposat, \(-\vec{a}\).
\(\vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0}\)
Sigui \(\vec{a}=(a_1,a_2,a_3)\) i \(k\in\mathbb{R}\). S'anomena producte de \(k\) per \(\vec{a}\) al vector que té per components \((k a_1,k a_2,k a_3)\).
\(k\cdot\vec{a}=k\cdot(a_1,a_2,a_3)=(k a_1,k a_2,k a_3)\)
Si \(k \ne 0\) aleshores els vectors \(\vec{a}\) i \(k\cdot\vec{a}\) tenen la mateixa direcció. Si \(k \gt 0\), també tenen el mateix sentit i si \(k \lt 0\) tenen sentits oposats.
Distributiva respecte a la suma de vectors:
\(k\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=k\cdot\vec{a}+k\cdot\vec{b}\)
Distributiva respecte a la suma de nombres reals:
\(\left(k+h\right)\cdot\vec{a}=k\cdot\vec{a}+h\cdot\vec{a}\)
Associativa:
\(\left(k \cdot h\right)\cdot\vec{a}=k \cdot \left(h\cdot\vec{a}\right)\)
Existència d'element neutre:
\(1\cdot\vec{a}=\vec{a}\)
Un vector es diu unitari si el seu mòdul és \(1\).
Qualsevol vector \(\vec{v}\) no nul té associat un vector unitari \(\vec{u}\) amb la mateixa direcció i el mateix sentit. Es calcula multiplicant el vector \(\vec{v}\) per l'invers del seu mòdul.
\(\displaystyle\vec{u}=\frac{1}{\left|\vec{v}\right|}\vec{v}\)
Exercici 7
Donats els vectors \(\vec{a}=(1,3,2)\), \(\vec{b}=(3,1,-1)\) i \(\vec{c}=(0,0,3)\), troba els componentes dels vectors:
| a) \(2\vec{a}+3\vec{b}-\vec{c}\) | Solució: | |
| b) \(\vec{a}-3\left(2\vec{b}+\vec{c}\right)\) | Solució: |
Exercici 8
Els vectors \(\vec{a}=(3,2,-5)\) i \(\vec{b}=(-6,-4,10)\), tenen la mateixa direcció? I el mateix sentit? Quina relació hi ha entre els seus mòduls?
Exercici 9
Determina el vector unitari en la direcció i sentit del vector \(\displaystyle\vec{a}=\left( -\sqrt{2},\frac{3}{2},\sqrt{2} \right)\).
| Solució: |
El conjunt de vectors de l'espai, \(V_3\) amb les operacions suma de vectors i multiplicació d'un vector per un nombre real verifica les propietats:
Suma de vectors \( \vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a} \\ \vec{a}+\left(\vec{b}+\vec{c}\right)=\left(\vec{a}+\vec{b}\right)+\vec{c} \\ \vec{a}+\vec{0}=\vec{a} \\ \vec{a}+\left(-\vec{a}\right)=\vec{0} \) Producte per escalar \( k\cdot\left(\vec{a}+\vec{b}\right)=k\cdot\vec{a}+k\cdot\vec{b} \\ \left(k+h\right)\cdot\vec{a}=k\cdot\vec{a}+h\cdot\vec{a} \\ \left(k \cdot h\right)\cdot\vec{a}=k \cdot \left(h\cdot\vec{a}\right) \\ 1\cdot\vec{a}=\vec{a} \)
Qualsevol conjunt amb unes operacions definides que verifiquin les mateixes propietats es diu que té estructura d'espai vectorial.
Exemples