Per determinar la posició d'un punt a l'espai cal definir primer un sistema de referència. El més habitual està format per tres rectes perpendiculars entre elles que es tallen en un punt \(O\) anomenat origen de coordenades. Aquestes tres rectes s'anomenen eixos de coordenades i es designen per \(X\), \(Y\) i \(Z\).
Fixada una unitat de longitud, la posició de qualsevol punt \(P\) de l'espai determina una única terna ordenada \((x,y,z)\) de nombres reals que són les coordenades de \(P\). Recíprocament, cada terna ordenada de nombres reals \((x,y,z)\) són les coordenades d'un únic punt \(P\) de l'espai.
Exercici 1
Indica en cada cas com identificaries a partir de les seves coordenades:
| a) un punt de l'eix \(X\) | Solució: | |
| b) un punt de l'eix \(Y\) | Solució: | |
| c) un punt de l'eix \(Z\) | Solució: | |
| d) un punt del pla \(XY\) | Solució: | |
| e) un punt del pla \(YZ\) | Solució: | |
| f) un punt del pla \(XZ\) | Solució: |
Siguin dos punts de l'espai \(A(a_1,a_2,a_3)\) i \(B(b_1,b_2,b_3)\). Els components del vector fix \(\overrightarrow{AB}\) que té per origen el punt \(A\) i per extrem el punt \(B\) s'obtenen restant a les coordenades de l'extrem les coordenades de l'origen.
\(\vec{AB}=(b_1-a_1,b_2-a_2,b_3-a_3)\)
Es diu que dos vectors \(\vec{AB}\) i \(\vec{CD}\) són dos vectors equipol·lents si tenen la mateixa longitud, la mateixa direcció i el mateix sentit.
Propietats dels vectors equipol·lents
Exercici 2
Donats els punts \(A(3,-1,5)\) i \(B(6,-2,3)\), troba els components del vector \(\vec{AB}\).
| Solució: |
Donat el vector \(\vec{CD}=(3,-6,0)\) i el punt \(C(-1,4,3)\), troba les coordenades del punt \(D\).
| Solució: |
Donat el vector \(\vec{EF}=(-5,3,-2)\) i el punt \(F(0,2,-3)\), troba les coordenades del punt \(E\).
| Solució: |
Exercici 3
Donats els punts \(A(5,-3,4)\), \(B(2,1,-3)\) i \(C(0,1,6)\), troba les coordenades del punt \(D\) sabent que els vectors \(\vec{AC}\) i \(\vec{DB}\) són equipol·lents.
| Solució: |
El conjunt de tots els vectors fixos equipol·lents entre ells s'anomena vector lliure. Entre tots aquests vectors existeix un que té com a origen l'origen de coordenades \(O\) i l'extrem en un cert punt \(P\). Els seus components coincideixen amb les coordenades del punt \(P\). Aquest vector \(\vec{v}=\vec{OP}\) s'anomena vector posició de \(P\).
El mòdul d'un vector \(\vec{v} = \left( v_1,v_2,v_3 \right) \) es defineix com la seva longitud.
\(\left| \vec{v} \right| = \sqrt{v_1^2+v_2^2+v_3^2}\)
Exercici 5
Els punts \(A(0,1,-1)\), \(B(3,3,2)\) i \(C(1,-2,1)\) són tres vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram \(ABCD\). Calcula les coordenades del quart vèrtex i determina raonadament si aquest paral·lelogram és un rombe.
Exercici 6
Donats els punts \(A(3,5,5)\) i \(B(5,7,t)\), calcula els valors de \(t\) sabent que \(\left| \vec{AB} \right|=3\).
| Solució: |