MATES 2BATX. Vectors a l'espai.

Per determinar la posició d'un punt a l'espai cal definir primer un sistema de referència. El més habitual està format per tres rectes perpendiculars entre elles que es tallen en un punt

$O$ anomenat origen de coordenades. Aquestes tres rectes s'anomenen eixos de coordenades i es designen per

$X$ ,

$Y$ i

$Z$ .

Fixada una unitat de longitud, la posició de qualsevol punt

$P$ de l'espai determina una única terna ordenada

$(x,y,z)$ de nombres reals que són les coordenades de

$P$ . Recíprocament, cada terna ordenada de nombres reals

$(x,y,z)$ són les coordenades d'un únic punt

$P$ de l'espai.

Exercici 1

Indica en cada cas com identificaries a partir de les seves coordenades:

a) un punt de l'eix $X$	Solució:	$\displaystyle \left( x,0,0 \right)$
b) un punt de l'eix $Y$	Solució:	$\displaystyle \left( 0,y,0 \right)$
c) un punt de l'eix $Z$	Solució:	$\displaystyle \left( 0,0,z \right)$
d) un punt del pla $XY$	Solució:	$\displaystyle \left( x,y,0 \right)$
e) un punt del pla $YZ$	Solució:	$\displaystyle \left( 0,y,z \right)$
f) un punt del pla $XZ$	Solució:	$\displaystyle \left( x,0,z \right)$

Vectors a l'espai

Siguin dos punts de l'espai

$A(a_1,a_2,a_3)$ i

$B(b_1,b_2,b_3)$ . Els components del vector fix

$\overrightarrow{AB}$ que té per origen el punt

$A$ i per extrem el punt

$B$ s'obtenen restant a les coordenades de l'extrem les coordenades de l'origen.

Es diu que dos vectors

$\vec{AB}$ i

$\vec{CD}$ són dos vectors equipol·lents si tenen la mateixa longitud, la mateixa direcció i el mateix sentit.

Exercici 2

Donats els punts $A(3,-1,5)$ i $B(6,-2,3)$ , troba els components del vector $\vec{AB}$ .

Solució:
$\vec{AB}= (3,-1,-2)$
Donat el vector $\vec{CD}=(3,-6,0)$ i el punt $C(-1,4,3)$ , troba les coordenades del punt $D$ .

Solució:
$D(2,-2,3)$
Donat el vector $\vec{EF}=(-5,3,-2)$ i el punt $F(0,2,-3)$ , troba les coordenades del punt $E$ .

Solució:
$E(5,-1,-1)$

Exercici 3

Donats els punts $A(5,-3,4)$ , $B(2,1,-3)$ i $C(0,1,6)$ , troba les coordenades del punt $D$ sabent que els vectors $\vec{AC}$ i $\vec{DB}$ són equipol·lents.

Solució:

$D(7,-3,-5)$

Vector posició. Mòdul d'un vector

El conjunt de tots els vectors fixos equipol·lents entre ells s'anomena vector lliure. Entre tots aquests vectors existeix un que té com a origen l'origen de coordenades

$O$ i l'extrem en un cert punt

$P$ . Els seus components coincideixen amb les coordenades del punt

$P$ . Aquest vector

$\vec{v}=\vec{OP}$ s'anomena vector posició de

$P$ .

El mòdul d'un vector

$\vec{v} = \left( v_1,v_2,v_3 \right)$ es defineix com la seva longitud.

Exercici 4

Quins són els components del vector nul?

Solució:
$\vec{0} = \left( 0,0,0 \right)$
I el seu mòdul?

Solució:
$\left| \vec{0} \right| = 0$

Exercici 5

Els punts $A(0,1,-1)$ , $B(3,3,2)$ i $C(1,-2,1)$ són tres vèrtexs consecutius d'un paral·lelogram $ABCD$ . Calcula les coordenades del quart vèrtex i determina raonadament si aquest paral·lelogram és un rombe.

Solució:

$\vec{CD} = \vec{BA} \Rightarrow D(-2,-4,-2)$

$\left.\begin{array}{l} \left|\vec{BA}\right|=\sqrt{22} \\ \left|\vec{BC}\right|=\sqrt{30} \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \left|\vec{BA}\right|\ne\left|\vec{BC}\right| \quad\Rightarrow\quad ABCD \text{ no és un rombe}$

Exercici 6

Donats els punts $A(3,5,5)$ i $B(5,7,t)$ , calcula els valors de $t$ sabent que $\left| \vec{AB} \right|=3$ .

Solució:

$t=4 \land t=6$

Vectors a l'espai

Localització de punts a l'espai

Vectors a l'espai

Vector posició. Mòdul d'un vector