La regla de Cramer

La regla de Cramer

En un sistema quadrat amb \( \left| M \right| \ne 0 \), el mètode de la matriu inversa diu que:

\( \displaystyle \vec{X} = M^{-1}·\vec{B} = \frac{1}{\left| M \right|} · \left( M^* \right)^T ·\vec{B} \)

I suposant que el sistema sigui de 3 equacions amb 3 incògnites:

\( \displaystyle \left( \begin{array}{c} x\\y\\z \end{array}\right) = \frac{1}{\left| M \right|} · \left( \begin{array}{ccc} m^*_{11}&m^*_{21}&m^*_{31} \\ m^*_{12}&m^*_{22}&m^*_{32} \\ m^*_{13}&m^*_{23}&m^*_{33}\end{array} \right) \left( \begin{array}{c} b_1\\b_2\\b_3 \end{array}\right) \)

De aquí es pot veure que la incògnita \(x\) es calcula de la següent manera:

\( \displaystyle \begin{align} x & = \frac{b_1·m^*_{11}+b_2·m^*_{21}+b_3·m^*_{31}}{\left| M \right|} \\ & \color{white}{·} \\ & = \frac{ b_1·\left| \begin{array}{cc} m_{22}&m_{23}\\m_{32}&m_{33} \end{array}\right| - b_2·\left| \begin{array}{cc} m_{12}&m_{13}\\m_{32}&m_{33} \end{array}\right| + b_3·\left| \begin{array}{cc} m_{12}&m_{13}\\m_{22}&m_{23} \end{array}\right| }{\left| M \right|} \\ & \color{white}{·} \\ & = \frac{ \left| \begin{array}{ccc} b_1&m_{12}&m_{13}\\b_2&m_{22}&m_{23}\\b_3&m_{32}&m_{33} \end{array}\right| }{\left| M \right|} = \frac{\Delta_x}{\left| M \right|} \end{align} \)

On \(\Delta_x\) és el determinant de la matriu que s'obté a partir de la matriu \(M\) substituint els coeficients de la primera columna pels termes independents. Procedint anàlogament amb les incògnites \(y\) i \(z\) s'arriba a la conclusió:

\( \displaystyle x=\frac{\Delta_x}{\Delta} \hspace{2em} \displaystyle y=\frac{\Delta_y}{\Delta} \hspace{2em} \displaystyle z=\frac{\Delta_z}{\Delta} \)

On s'han definit els següents determinants:

\( \Delta = \left| M \right| = \left| \begin{array}{ccc} m_{11}&m_{12}&m_{13} \\ m_{21}&m_{22}&m_{23} \\ m_{31}&m_{32}&m_{33}\end{array} \right| \)

\( \hspace{1.5em} \Delta_x = \left| \begin{array}{ccc} b_1&m_{12}&m_{13} \\ b_2&m_{22}&m_{23} \\ b_3&m_{32}&m_{33} \end{array} \right| \hspace{1.5em} \) \( \hspace{1.5em} \Delta_y = \left| \begin{array}{ccc} m_{11}&b_1&m_{13} \\ m_{21}&b_2&m_{23} \\ m_{31}&b_3&m_{33} \end{array} \right| \hspace{1.5em} \) \( \hspace{1.5em} \Delta_z = \left| \begin{array}{ccc} m_{11}&m_{12}&b_1 \\ m_{21}&m_{22}&b_2 \\ m_{31}&m_{32}&b_3 \end{array} \right| \hspace{1.5em} \)

Es diu que un sistema és un sistema de Cramer quan \( \left| M \right| \ne 0 \). En aquest cas, el sistema és compatible determinat, és a dir, tindrà una única solució.

D'igual manera que amb el mètode de la matriu inversa, també es pot aplicar la regla de Cramer per a resoldre sistemes d'equacions compatibles amb més equacions que incògnites eliminant equacions supèrflues.

També es pot aplicar la regla de Cramer per a resoldre sistemes d'equacions compatibles indeterminats escollint quines són les equacions i les incògnites principals, quines equacions es poden suprimir i quines incògnites s'han de passar als altres membres de les equacions.