Un sistema de \(m\) equacions amb \(n\) incògnites qualsevol:
\( \left. \begin{array}{cccccccc} m_{11}x_1 & + & m_{12}x_2 & \cdots & + & m_{1n}x_n & = & b_1 \\ m_{21}x_1 & + & m_{22}x_2 & \cdots & + & m_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & & \vdots \\ m_{m1}x_1 & + & m_{m2}x_2 & \cdots & + & m_{mn}x_n & = & b_m \\ \end{array} \right \rbrace \)
es pot escriure en forma matricial de la següent manera:
\( \begin{array}{ccccc} \left( \begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12}& \cdots & m_{1n} \\ m_{21} & m_{22}& \cdots & m_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ m_{m1} & m_{m2}& \cdots & m_{mn} \\ \end{array} \right) & · & \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) & = & \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{array} \right) \\&&&&\\&&&&\\ m \times n & & n \times 1 & & m \times 1 \end{array} \)
o de forma més compacta:
\( M·\vec{X} = \vec{B} \)
Exemples
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} 3x&-&5y&+&8z&=&13 \\ 2x&-&4y&+&7z&=&14 \\ 2x&-&6y&+&4z&=&14 \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrr}3&-5&8\\2&-4&7\\2&-6&4 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} x\\y\\z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} 13\\14\\14 \end{array} \right) \)
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrr} 2x&+&5y&=&4 \\ 3x&-&y&=&2 \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{rr}2&5\\3&-1 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} x\\y \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} 4\\2 \end{array} \right) \)
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} 3x&+&y&-&4z&=&1 \\ 2x&-&3y&+&z&=&0 \end{array}\right. \quad \Rightarrow \quad \left( \begin{array}{rrr}3&1&-4\\2&-3&1 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} x\\y\\z \end{array} \right)= \left( \begin{array}{r} 1\\0 \end{array} \right) \)
La notació matricial permet resoldre un sistema d'equacions, en el cas que la matriu \(M\) sigui invertible, amb un mètode formalment molt senzill. Simplement s'ha de resoldre l'equació matricial.
\( M·\vec{X} = \vec{B} \quad \Rightarrow \quad \vec{X} = M^{-1}·\vec{B} \)
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} x&+&y&+&z&=&5 \\ x&+&y&&&=&3 \\ &&y&+&z&=&4 \end{array} \right. \)
Escrit en forma matricial és:
\( \left( \begin{array}{rrr} 1&1&1 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} x\\y\\z \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 5\\3\\4 \end{array} \right) \)
I com que \( \left| M \right| = 1 \ne 0 \) podem aplicar el mètode de la matriu inversa:
\( \begin{align} \left( \begin{array}{r} x\\y\\z \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{rrr} 1&1&1 \\ 1&1&0 \\ 0&1&1 \end{array} \right)^{-1} · \left( \begin{array}{r} 5\\3\\4 \end{array} \right) \\ & \color{white}{=} \\ & = \left( \begin{array}{rrr} 1&0&-1 \\ -1&1&1 \\ 1&-1&0 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} 5\\3\\4 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 1\\2\\2 \end{array} \right) \end{align} \)
Es pot aplicar el mètode de la matriu inversa per a resoldre sistemes d'equacions compatibles amb més equacions que incògnites. Només cal eliminar equacions supèrflues. Per saber quines són les equacions supèrflues es pot agafar el menor que dóna el rang de la matriu \(M\) com a referència. Les files que formen aquest menor corresponen a equacions principals. Les altres es poden suprimir.
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} 3x&+&2y&=&3 \\ 2x&+&y&=&1 \\ 5x&+&3y&=&4 \end{array} \right. \)
Les seves matrius associades són:
\( M = \left( \begin{array}{rr} 3&2 \\ 2&1 \\ 5&3 \end{array} \right) \hspace{1em} \) i \( \hspace{1em} M' = \left( \begin{array}{rr|r} 3&2&3 \\ 2&1&1 \\ 5&3&4 \end{array} \right) \)
Calculem els seus rangs:
\( \left| \begin{array}{rr} 3&2 \\ 2&1 \end{array} \right| = -1 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{rang}\, M = 2 \)
\( \left| \begin{array}{rrr} 3&2&3 \\ 2&1&1 \\ 5&3&4 \end{array}\right| = 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{rang}\, M' = 2 \)
Per tant:
\( \left. \begin{array}{l} \mathrm{rang}\, M = 2 \\ \mathrm{rang}\, M' = 2 \\ n = 2 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \) Sistema Compatible Determinat
Com que el menor que ens dóna el rang de \(M\) no té elements de la tercera fila, suprimim la tercera equació:
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} 3x&+&2y&=&3 \\ 2x&+&y&=&1 \end{array} \right. \)
Aquest sistema el podem escriure en forma matricial:
\( \left( \begin{array}{rr} 3&2 \\ 2&1 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} x\\y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 3\\1 \end{array} \right) \)
I li apliquem el mètode de la matriu inversa:
\( \left( \begin{array}{r} x\\y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 3&2\\2&1 \end{array} \right)^{-1} · \left( \begin{array}{r} 3\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} -1&2 \\ 2&-3 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} 3\\1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} -1\\3 \end{array} \right) \)
També es pot aplicar el mètode de la matriu inversa per a resoldre sistemes d'equacions compatibles indeterminats. Igual que abans, les files del menor que dóna el rang de \(M\) permeten escollir quines són les equacions principals. Les altres es poden suprimir. A més, les columnes d'aquest menor permeten escollir les incògnites principals. Les altres incògnites s'han de passar a l'altre membre de les equacions.
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} 2x&-&y&+&z&=&2 \\ x&+&y&+&z&=&1 \end{array} \right. \)
Les seves matrius associades són:
\( M = \left( \begin{array}{rrr} 2&-1&1\\1&1&1 \end{array} \right) \hspace{1em} \) i \( \hspace{1em} M' = \left( \begin{array}{rrr|r} 2&-1&1&2\\1&1&1&1 \end{array} \right) \)
Calculem els seus rangs:
\( \left| \begin{array}{rr} 2&-1\\1&1 \end{array} \right| = 3 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{rang}\, M = \mathrm{rang}\, M' = 2 \)
Per tant:
\( \left. \begin{array}{l} \mathrm{rang}\, M = 2 \\ \mathrm{rang}\, M' = 2 \\ n = 3 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \) Sistema Compatible Indeterminat
Com que el menor que ens dóna el rang de \(M\) no fa servir els coeficients de la tercera columna, passem a l'altre membre els terms amb \(z\):
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} 2x&-&y&=&2&-&z \\ x&+&y&=&1&-&z \end{array} \right. \)
I ara podem escriure aquest sistema en forma matricial:
\( \left( \begin{array}{rr} 2&-1\\1&1 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} x\\y \end{array} \right) = \left( \begin{array}{r} 2-z\\1-z \end{array} \right) \)
Li apliquem el mètode de la matriu inversa:
\( \displaystyle\begin{align} \left( \begin{array}{r} x\\y \end{array} \right) & = \left( \begin{array}{rr} 2&-1\\1&1 \end{array} \right)^{-1} · \left( \begin{array}{r} 2-z\\1-z \end{array} \right) = \\ & \color{white}{=} \\ & = \frac{1}{3}\left( \begin{array}{rr} 1&1\\-1&2 \end{array} \right) · \left( \begin{array}{r} 2-z\\1-z \end{array} \right) \\ & \color{white}{=} \\ & = \frac{1}{3}\left( \begin{array}{c} 3-2z\\-z \end{array} \right) \end{align} \)
I ja tenim les infinites solucions parametritzades:
\( \displaystyle \begin{align} x&=1-\frac{2\lambda}{3} \\ y&=-\frac{\lambda}{3} \\ z&=\lambda \end{align} \)