El teorema de Rouché-Frobenius permet classificar un sistema de equacions lineals a partir dels rangs de la matriu del sistema i de la matriu ampliada.
L'enunciat del teorema diu que un sistema d'equacions lineals és compatible si la matriu del sistema i la matriu ampliada tenen el mateix rang. A més, en el cas que siguin compatibles, el sistema serà determinat si el seu rang coincideix amb el nombre d'incògnites, i serà indeterminat si el rang és menor que el nombre d'incògnites.
En resum:
\( \mathrm{rang}\, M = \mathrm{rang}\, M' = n \) |
\( \quad\Rightarrow\quad \) |
Sistema Compatible Determinat (amb solució única) |
\( \mathrm{rang}\, M = \mathrm{rang}\, M' \lt n \) |
\( \quad\Rightarrow\quad \) |
Sistema Compatible Indeterminat (amb infinites solucions) |
\( \mathrm{rang}\, M \lt \mathrm{rang}\, M' \) |
\( \quad\Rightarrow\quad \) |
Sistema Incompatible (sense solució) |
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrr} 3x&+&y&=&5 \\ x&+&3y&=&1 \\ 2x&+&2y&=&7 \end{array} \right. \)
Les seves matrius associades són:
\( M = \left( \begin{array}{rr} 3&1 \\ 1&3 \\ 2&2 \end{array} \right) \hspace{1em} \) i \( \hspace{1em} M' = \left( \begin{array}{rr|r} 3&1&5 \\ 1&3&1 \\ 2&2&7 \end{array} \right) \)
Calculem els seus rangs:
\( \left| \begin{array}{rr} 3&1 \\ 1&3 \end{array} \right| = 8 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{rang}\, M = 2 \)
\( \left| \begin{array}{rrr} 3&1&5 \\ 1&3&1 \\ 2&2&7 \end{array}\right| = 32 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{rang}\, M' = 3 \)
Per tant:
\( \left. \begin{array}{l} \mathrm{rang}\, M = 2 \\ \mathrm{rang}\, M' = 3 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \) Sistema Incompatible
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} x&+&y&&&=&1 \\ &&y&+&z&=&2 \end{array} \right. \)
Les seves matrius associades són:
\( M = \left( \begin{array}{rrr} 1&1&0\\0&1&1 \end{array} \right) \hspace{1em} \) i \( \hspace{1em} M' = \left( \begin{array}{rrr|r} 1&1&0&1\\0&1&1&2 \end{array} \right) \)
Calculem els seus rangs:
\( \left| \begin{array}{rr} 1&1\\ 0&1 \end{array} \right| = 1 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{rang}\, M = \mathrm{rang}\, M' = 2 \)
Per tant:
\( \left. \begin{array}{l} \mathrm{rang}\, M = 2 \\ \mathrm{rang}\, M' = 2 \\ n = 3 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \) Sistema Compatible Indeterminat
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace \begin{array}{rrrrrrr} x&-&y&+&z&=&2 \\ 2x&&&+&z&=&5 \\ x&+&2y&&&=&3 \end{array} \right. \)
Les seves matrius associades són:
\( M = \left( \begin{array}{rrr} 1&-1&1\\2&0&1\\1&2&0 \end{array} \right) \hspace{1em} \) i \( \hspace{1em} M' = \left( \begin{array}{rrr|r} 1&-1&1&2\\2&0&1&5\\1&2&0&3 \end{array} \right) \)
Calculem els seus rangs:
\( \left| \begin{array}{rrr} 1&-1&1\\2&0&1\\1&2&0 \end{array} \right| = 1 \ne 0 \quad\Rightarrow\quad \mathrm{rang}\, M = \mathrm{rang}\, M' = 3 \)
Per tant:
\( \left. \begin{array}{l} \mathrm{rang}\, M = 3 \\ \mathrm{rang}\, M' = 3 \\ n = 3 \end{array}\right\rbrace \quad\Rightarrow\quad \) Sistema Compatible Determinat
S'anomena sistema quadrat a un sistema amb el mateix nombre d'equacions que d'incògnites, és a dir, un sistema amb una matriu \( M \) quadrada.
En un sistema quadrat, com a conseqüència del teorema de Rouché-Frobenius, si es verifica que \(\left| M \right| \ne 0\), aleshores el sistema és compatible determinat.
Un sistema homogeni és un sistema amb tots els termes independents nuls.
En aquest cas com que \(M'\) s'obté a partir de \(M\) afegint una columna de zeros, els seus rangs coincideixen. És a dir tots els sistemes homogenis són compatibles i per tant tenen solució.
Si a més \(\mathrm{rang}\, M = \mathrm{rang}\, M' = n\), el sistema és compatible determinat. Té una única solució que s'anomena solució trivial i que és aquella en que totes les incògnites són zero.
En cas contrari, \(\mathrm{rang}\, M = \mathrm{rang}\, M' \lt n\), el sistema és compatible indeterminat. Té infinites solucions, sent una d'elles és la solució trivial.