Un sistema de \(m\) equacions amb \(n\) incògnites té associades dues matrius. Una de elles és una matriu \(M\) formada pels coeficients de les incògnites, que s'anomena matriu del sistema. L'altra és una matriu \(M'\) que s'anomena matriu ampliada i que es forma afegint a la dreta de \(M\) una columna amb els termes independents.
\( \left. \begin{array}{cccccccc} m_{11}x_1 & + & m_{12}x_2 & \cdots & + & m_{1n}x_n & = & b_1 \\ m_{21}x_1 & + & m_{22}x_2 & \cdots & + & m_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & & \vdots \\ m_{m1}x_1 & + & m_{m2}x_2 & \cdots & + & m_{mn}x_n & = & b_m \\ \end{array} \right \rbrace \)
\(M = \left( \begin{array}{cccc} m_{11} & m_{12}& \cdots & m_{1n} \\ m_{21} & m_{22}& \cdots & m_{2n} \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots \\ m_{m1} & m_{m2}& \cdots & m_{mn} \\ \end{array} \right) \hspace{4em} M' = \left( \begin{array}{cccc|c} m_{11} & m_{12}& \cdots & m_{1n} & b_1 \\ m_{21} & m_{22}& \cdots & m_{2n} & b_2 \\ \vdots &\vdots & \ddots &\vdots &\vdots \\ m_{m1} & m_{m2}& \cdots & m_{mn} & b_3 \\ \end{array} \right) \)
Aquest mètode és una generalització del mètode de reducció. Es fa servir la matriu ampliada per abreujar la notació. Les transformacions que es poden fer a la matriu ampliada per transformar el sistema d'equacions en altre sistema equivalent són les següents:
L'objectiu és transformar el sistema en un sistema esglaonat més senzill. El que es fa habitualment és transformar el sistema en un sistema esglaonat.
Exemple
Fem servir el mateix sistema de l'exemple de l'apartat anterior:
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} 3x&-&5y&+&8z&=&13 \\ 2x&-&4y&+&7z&=&14 \\ 2x&-&6y&+&4z&=&14 \end{array}\right. \)
La matriu ampliada és:
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 3&-5&8&13 \\ 2&-4&7&14 \\ 2&-6&4&14 \end{array} \right) \)
Podem intercanviar files per a aconseguir que el primer coeficient de la primera fila sigui diferent de zero, i a ser possible que sigui 1. Si convé es pot multiplicar o dividir una fila per un factor \( k \ne 0 \). En aquest exemple podem dividir la tercera fila entre \(2 \) i intercanviarla amb la primera.
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 3&-5&8&13 \\ 2&-4&7&14 \\ 2&-6&4&14 \end{array} \right) \overset{^{E'_3=E_3·\frac{1}{2}}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{rrr|r} 3&-5&8&13 \\ 2&-4&7&14 \\ 1&-3&2&7 \end{array} \right) \overset{^{E'_3=E_1}}{\underset{_{E'_1=E_3}}{\longrightarrow}} \left( \begin{array}{rrr|r} 1&-3&2&7 \\ 2&-4&7&14 \\ 3&-5&8&13 \end{array} \right) \)
Ara, l'objectiu és, deixant aquesta fila fixa, aconseguir zeros a la primera columna de les files de sota. En aquest cas a la segona fila li restarem dues vegades la primera, i a la tercera fila li restarem tres vegades la primera.
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 1&-3&2&7 \\ 2&-4&7&14 \\ 3&-5&8&13 \end{array} \right) \overset{^{E'_2=E_2-2E_1}}{\underset{_{E'_3=E_3-3E_1}}{\longrightarrow}} \left( \begin{array}{rrr|r} 1&-3&2&7 \\ 0&2&3&0 \\ 0&4&2&-8 \end{array} \right) \)
Per últim, deixant la primera i la segona fila fixes, i fent servir només la segona, hem d'aconseguir un zero a la segona columna de la tercera fila. En aquest cas a la tercera fila li restarem dues vegades la segona.
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 1&-3&2&7 \\ 0&2&3&0 \\ 0&4&2&-8 \end{array} \right) \overset{^{E'_3=E_3-2E_2}}{\longrightarrow} \left( \begin{array}{rrr|r} 1&-3&2&7 \\ 0&2&3&0 \\ 0&0&-4&-8 \end{array} \right) \)
Aquesta matriu esglaonada correspon al sistema:
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&-&3y&+&2z&=&7 \\ &&2y&+&3z&=&0 \\ &&&-&4z&=&-8 \end{array}\right. \)
Que és un sistema compatible determinat amb només una solució:
\(x=-6\), \(y=-3\) i \(z=2\)
El mètode de Gauss no només permet resoldre un sistema compatible determinat. També permet estudiar la compatibilitat o incompatibilitat de qualsevol sistema determinat. I en el cas de que sigui compatible, permet dir si és determinat o indeterminat.
Després de fer les transformacions escaients i d'eliminar les files nul·les, s'obtindrà un sistema esglaonat amb \(k\) equacions lineals. Es pot classificar el sistema de la següent manera:
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&+&5y&+&z&=&1 \\ 2x&+&2y&+&3z&=&4 \\ 5x&+&9y&+&7z&=&2 \end{array}\right. \)
La matriu ampliada és:
\( \left( \begin{array}{rrr|c} 1&5&1&1 \\ 2&2&3&4 \\ 5&9&7&2 \end{array} \right) \)
Si a la segona fila li restem dues vegades la primera, i a la tercera fila li restem cinc vegades la primera.
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 1&5&1&1 \\ 0&-8&1&2 \\ 0&-16&2&-3 \end{array} \right) \)
Ara a la tercera fila li restem dues vegades la segona.
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 1&5&1&1 \\ 0&-8&1&2 \\ 0&0&0&-7 \end{array} \right) \)
L'última fila correspon a l'equació \(0=-7\), que obviament és una igualtat numèrica falsa. Per tant el sistema és un sistema incompatible.
Exemple
Sigui el sistema:
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&+&5y&+&z&=&1 \\ 2x&+&2y&+&3z&=&4 \\ 5x&+&9y&+&7z&=&9 \end{array}\right. \)
La matriu ampliada és:
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 1&5&1&1 \\ 2&2&3&4 \\ 5&9&7&9 \end{array} \right) \)
Si a la segona fila li restem dues vegades la primera, i a la tercera fila li restem cinc vegades la primera.
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 1&5&1&1 \\ 0&-8&1&2 \\ 0&-16&2&4 \end{array} \right) \)
Com que la segona i tercera files són proporcionals, podem suprimir una d'aquestes files.
\( \left( \begin{array}{rrr|r} 1&5&1&1 \\ 0&-8&1&2 \end{array} \right) \)
Aquest matriu està esglaonada i té 2 files. Per tant és un sistema compatible indeterminat amb infinites solucions. De les tres incògnites podrem expressar dos de elles en funció de la tercera.
La segona fila equival a l'equació \( -8y+z=2 \) d'on podem aïllar \(z\) per exemple:
\( -8y+z=2 \quad \Rightarrow \quad z=8y+2 \)
Amb aquest resultat i amb ajuda de l'equació corresponent a la primera fila podrem obtenir \(x\) en funció de \(y\):
\( x+5y+z=1 \quad \Rightarrow \quad x+5y+8y+2=1 \quad \Rightarrow \quad x=-13y-1\)
Expressarem les infinites solucions amb la següent parametrització:
\( \begin{align} x&=-13\lambda-1 \\ y&=\lambda \\ z&=8\lambda+2 \end{align} \)
Exercici 2
Resol el següent sistema d'equacions
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&+&3y&+&5z&=&1 \\ 2x&+&4y&+&6z&=&1 \\ 2x&+&3y&+&4z&=&1 \end{array}\right. \)
Exercici 3
Resol el següent sistema d'equacions
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&+&y&+&2z&=&6 \\ 2x&+&3y&+&z&=&13 \\ 3x&-&y&+&2z&=&14 \end{array}\right. \)
Exercici 4
Resol el següent sistema d'equacions
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&+&3y&+&2z&=&1 \\ 2x&+&y&+&4z&=&1 \\ 5x&+&5y&+&10z&=&3 \end{array}\right. \)