Un sistema d'equacions lineals està format per \(m\) equacions amb \(n\) incògnites que s'han de verificar alhora, i que es pot expressar de la següent manera:
\( \left. \begin{array}{cccccccc} m_{11}x_1 & + & m_{12}x_2 & \cdots & + & m_{1n}x_n & = & b_1 \\ m_{21}x_1 & + & m_{22}x_2 & \cdots & + & m_{2n}x_n & = & b_2 \\ \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & & \vdots \\ m_{m1}x_1 & + & m_{m2}x_2 & \cdots & + & m_{mn}x_n & = & b_m \\ \end{array} \right \rbrace \)
Les variables \(x_j\) són les incògnites de l'equació i poden prendre qualsevol valor real. Els nombres \(m_{ij}\) són nombres reals que reben el nom de coeficients de les incògnites \(x_j\) i els nombres \(b_i\) també són reals i s'anomenen termes independents.
\( m\in\mathbb{N} \quad\quad n\in\mathbb{N} \quad\quad i\in \lbrace\ 1,2,\ldots m \rbrace \quad\quad j\in \lbrace\ 1,2,\ldots n \rbrace \)
\( m_{ij}\in\mathbb{R} \quad\quad b_j\in\mathbb{R} \quad\quad x_j\in\mathbb{R} \quad\quad \)
Si el nombre d'incògnites no és molt gran es poden fer servir lletres diferents, per exemple en els sistemes amb tres incògnites es fan servir les lletres \(x\), \(y\) i \(z\).
Si tots els termes independents són nuls, el sistema s'anomena sistema homogeni.
La solució d'un sistema de \(m\) equacions amb \(n\) incògnites és un conjunt de nombres reals \(x_1, x_2, \ldots , x_n\) que verifiquen alhora totes les igualtats del sistema.
Segons el nombre de solucions, els sistemes es poden classificar en sistemes compatibles que són els que tenen solució i sistemes incompatibles que són els que no en tenen. A més, els compatibles es poden classificar en sistemes determinats que tenen una única solució i indeterminats que en tenen infinites.
Dos sistemes són equivalents si tenen la mateixa solució.
A partir d'un sistema d'equacions es poden obtenir sistemes equivalents fent algunes d'aquestes operacions:
Això permet obtenir sistemes equivalents més senzills, de solució gairebé inmediata. Aquest mètode és una generalització del mètode de reducció per resoldre sistemes de dues equacions amb dues incògnites.
Exemple
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} 3x&-&5y&+&8z&=&13 \\ 2x&-&4y&+&7z&=&14 \\ 2x&-&6y&+&4z&=&14 \end{array}\right. \)
La tercera equació es pot multiplicar per \(\displaystyle\frac{1}{2}\).
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} 3x&-&5y&+&8z&=&13 \\ 2x&-&4y&+&7z&=&14 \\ x&-&3y&+&2z&=&7 \end{array}\right. \)
Es poden intercanviar la primera equació i la tercera.
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&-&3y&+&2z&=&7 \\ 2x&-&4y&+&7z&=&14 \\ 3x&-&5y&+&8z&=&13 \end{array}\right. \)
Ara a la segona equació se li pot restar dues vegades la primera. I a més, a la tercera se li pot restar tres vegades la primera.
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&-&3y&+&2z&=&7 \\ &&2y&+&3z&=&0 \\ &&4y&+&2z&=&-8 \end{array}\right. \)
I, per últim, a la tercera equació se li pot restar dues vegades la segona.
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&-&3y&+&2z&=&7 \\ &&2y&+&3z&=&0 \\ &&&-&4z&=&-8 \end{array}\right. \)
La resolució d'aquest sistema és gairebé inmediata.
\( -4z=-8 \quad\Rightarrow\quad z=2 \\ 2y+3z=0 \quad\Rightarrow\quad 2y+3·2=0 \quad\Rightarrow\quad y=-3 \\ x-3y+2z=7 \quad\Rightarrow\quad x-3·(-3)+2·2=7 \quad\Rightarrow\quad x=-6 \)
La solució d'aquest sistema és \(x=-6\), \(y=-3\) i \(z=2\). Com que només té una solució és un sistema compatible determinat.
Exercici 1
Resol el següent sistema d'equacions
\( \left\lbrace\begin{array}{rrrrrrr} x&+&y&+&z&=&8 \\ x&+&2y&+&3z&=&12 \\ x&+&3y&+&4z&=&15 \end{array}\right. \)