Full d'exercicis I

Exercici 1

Escriu de forma explícita la matriu:

\( \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{4 \times 4} \) amb \( a_{ij}=(4-i-j)^2 \)

Solució:


Exercici 2

Donades les matrius:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 3&-1 \\ 1&4 \\ 0&-3 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 0&1&3 \end{array} \right) \)

Calcula \( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}^\mathsf{T} \)

Solució:


Exercici 3

Calcula tots els productes possibles que es poden fer entre dues matrius diferents d'aquestes tres:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&1 \\ 3&7&0 \\ 0&2&-1 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 2&-1&0 \\ 1&0&3 \end{array} \right) \)

Solució:


Exercici 4

Comprova si les matrius següents commuten:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&-2 \\ 3&7 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 3&1 \\ -4&5 \end{array} \right) \)

Solució:


Exercici 5

Calcula la potència enèsima de les següents matrius:

\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ 0&1 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&0 \\ 3&4 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ 1&1 \end{array} \right) \)

Solució:


Exercici 6

Sigui la matriu quadrada \( \boldsymbol{A}=(a_{ij}) \) d'ordre 4, amb els seus elements definits per:

\( a_{ij}=\left \lbrace \begin{array}{ccc} 0 & si & i \gt j \\ 1 & si & i \le j \end{array} \right . \)

  1. Escriu de forma explícita la matriu \(\boldsymbol{A}\)
    Solució:
  2. Calcula \(\boldsymbol{A}^2\)
    Solució:
  3. Calcula \(\boldsymbol{A}^3\)
    Solució:

Exercici 7

Siguin les matrius \(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ -1&2 \end{array} \right) \) i \(\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&3 \\ a&b \end{array} \right)\). Quins valors han de tenir \(a\) i \(b\) si sabem que \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) commuten?

Solució:


Exercici 8

Sigui la matriu \(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0&a&b \\ 0&0&c \\ 0&0&0 \end{array} \right) \):

  1. Troba \(\boldsymbol{A}^n\), \( \forall n \in \mathbb{N} \)
    Solució:
  2. Calcula \( \left( \boldsymbol{A}^7 + \boldsymbol{A}^4 + \boldsymbol{A}^2 \right)^2 \)
    Solució:

Exercici 9

Una matriu \(\boldsymbol{A}\) es diu ortogonal si \( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}^\mathsf{T} = \boldsymbol{A}^\mathsf{T}\cdot\boldsymbol{A} = I \), o sigui \( \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathsf{T} \). Quines de les següents matrius són ortogonals:

Solució:


Exercici 10

Una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) és periòdica si existeix un nombre natural \(n\) tal que \(\boldsymbol{A}^{n+1} = \boldsymbol{A}\). I si \(n\) és el menor nombre natural que ho compleix, es diu que la matriu \(\boldsymbol{A}\) és periòdica de període \(n\).

  1. Demostra que la matriu \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cc} p&1-p \\ 1+p&p \end{array} \right) \) és periòdica.
    Solució:
  2. Troba una expressió que et permeti calcular \( \boldsymbol{A}^n \)
    Solució:

Exercici 11

Calcula \(\boldsymbol{A}^{2015}\) amb:

\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right) \)

Solució: