Full d'exercicis I

Exercici 1

Escriu de forma explícita la matriu:

$\boldsymbol{A}=(a_{ij})_{4 \times 4}$ amb $a_{ij}=(4-i-j)^2$

Solució:

Exercici 2

Donades les matrius:

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 3&-1 \\ 1&4 \\ 0&-3 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 0&1&3 \end{array} \right)$

Calcula $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}^\mathsf{T}$

Solució:

Exercici 3

Calcula tots els productes possibles que es poden fer entre dues matrius diferents d'aquestes tres:

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&1 \\ 3&7&0 \\ 0&2&-1 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 2&-1&0 \\ 1&0&3 \end{array} \right)$

Solució:

Exercici 4

Comprova si les matrius següents commuten:

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&-2 \\ 3&7 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 3&1 \\ -4&5 \end{array} \right)$

Solució:

Exercici 5

Calcula la potència enèsima de les següents matrius:

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ 0&1 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&0 \\ 3&4 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ 1&1 \end{array} \right)$

Solució:

Exercici 6

Sigui la matriu quadrada $\boldsymbol{A}=(a_{ij})$ d'ordre 4, amb els seus elements definits per:

$a_{ij}=\left \lbrace \begin{array}{ccc} 0 & si & i \gt j \\ 1 & si & i \le j \end{array} \right .$

1. Escriu de forma explícita la matriu $\boldsymbol{A}$
   Solució:
   $\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&1&1 \\0&0&0&1 \end{array} \right)$
2. Calcula $\boldsymbol{A}^2$
   Solució:
   $\boldsymbol{A}^2 = \left( \begin{array}{rrrr} 1&2&3&4 \\ 0&1&2&3 \\ 0&0&1&2 \\0&0&0&1 \end{array} \right)$
3. Calcula $\boldsymbol{A}^3$
   Solució:
   $\boldsymbol{A}^3 = \left( \begin{array}{rrrr} 1&3&6&10 \\ 0&1&3&6 \\ 0&0&1&3 \\0&0&0&1 \end{array} \right)$

Exercici 7

Siguin les matrius $\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ -1&2 \end{array} \right)$ i $\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&3 \\ a&b \end{array} \right)$. Quins valors han de tenir $a$ i $b$ si sabem que $\boldsymbol{A}$ i $\boldsymbol{B}$ commuten?

Solució:

Exercici 8

Sigui la matriu $\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0&a&b \\ 0&0&c \\ 0&0&0 \end{array} \right)$:

1. Troba $\boldsymbol{A}^n$, $\forall n \in \mathbb{N}$
   Solució:
   $\boldsymbol{A}^2 = \left( \begin{array}{rrr} 0&0&ab \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right) \quad \land \quad \boldsymbol{A}^n = \left( \begin{array}{rrr} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right) \quad \forall n \ge 2$
2. Calcula $\left( \boldsymbol{A}^7 + \boldsymbol{A}^4 + \boldsymbol{A}^2 \right)^2$
   Solució:
   $\left( \boldsymbol{A}^7 + \boldsymbol{A}^4 + \boldsymbol{A}^2 \right)^2 = \left( \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} + \boldsymbol{A}^2 \right)^2 = \boldsymbol{A}^4 = 0$

Exercici 9

Una matriu $\boldsymbol{A}$ es diu ortogonal si $\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}^\mathsf{T} = \boldsymbol{A}^\mathsf{T}\cdot\boldsymbol{A} = I$, o sigui $\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathsf{T}$. Quines de les següents matrius són ortogonals:

• $\quad \quad \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array} \right)$
• $\quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right)$
• $\quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rr} 0&-1 \\ 1&0 \end{array} \right)$
• $\quad \quad \boldsymbol{D} = \left( \begin{array}{rr} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)$

Solució:

Exercici 10

Una matriu quadrada $\boldsymbol{A}$ és periòdica si existeix un nombre natural $n$ tal que $\boldsymbol{A}^{n+1} = \boldsymbol{A}$. I si $n$ és el menor nombre natural que ho compleix, es diu que la matriu $\boldsymbol{A}$ és periòdica de període $n$.

1. Demostra que la matriu $\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cc} p&1-p \\ 1+p&p \end{array} \right)$ és periòdica.
   Solució:
   $\boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{I}_2 \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{A}^3 = \boldsymbol{A} \quad \Rightarrow \quad$ $\boldsymbol{A}$ és periòdica de període $2$.
2. Troba una expressió que et permeti calcular $\boldsymbol{A}^n$
   Solució:
   $\boldsymbol{A}^n = \left\lbrace \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A}&\textrm{si}&n \hspace{0.4em} \textrm{és senar} \\ \boldsymbol{I}_2&\textrm{si}&n \hspace{0.4em} \textrm{és parell} \end{array} \right.$

Exercici 11

Calcula $\boldsymbol{A}^{2015}$ amb:

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right)$

Solució: