Full d'exercicis I
Exercici 1
Escriu de forma explícita la matriu:
\( \boldsymbol{A}=(a_{ij})_{4 \times 4} \) amb \( a_{ij}=(4-i-j)^2 \)
Solució:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 4&1&0&1 \\ 1&0&1&4 \\ 0&1&4&9 \\ 1&4&9&16 \end{array} \right) \)
Exercici 2
Donades les matrius:
\(
\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 3&-1 \\ 1&4 \\ 0&-3 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 2 \\ -3 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 0&1&3 \end{array} \right) \)
Calcula \( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}^\mathsf{T} \)
Solució:
\( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B}+\boldsymbol{C}^\mathsf{T} = \left( \begin{array}{r} 9 \\ -9 \\ 12 \end{array} \right) \)
Exercici 3
Calcula tots els productes possibles que es poden fer entre dues matrius diferents d'aquestes tres:
\(
\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&-2&1 \\ 3&7&0 \\ 0&2&-1 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} 1 \\ 3 \\ -2 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrr} 2&-1&0 \\ 1&0&3 \end{array} \right) \)
Solució:
\(
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} -7 \\ 24 \\ 8 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} -1&-11&2 \\ 1&4&-2 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{C}\cdot\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{r} -1 \\ -5 \end{array} \right) \)
Exercici 4
Comprova si les matrius següents commuten:
\(
\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&-2 \\ 3&7 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 3&1 \\ -4&5 \end{array} \right) \)
Solució:
\(
\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 11&-9 \\ -19&38 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 6&1 \\ 11&43 \end{array} \right) \)
\( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{B} \ne \boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{A} \)
Exercici 5
Calcula la potència enèsima de les següents matrius:
\(
\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ 0&1 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&0 \\ 3&4 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ 1&1 \end{array} \right)
\)
Solució:
\(
\boldsymbol{A}^n = \left( \begin{array}{rr} 1&n \\ 0&1 \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{B}^n = \left( \begin{array}{cc} 1&0 \\ 4^n-1&4^n \end{array} \right) \quad \quad
\boldsymbol{C}^n = \left( \begin{array}{cc} 2^{n-1}&2^{n-1} \\ 2^{n-1}&2^{n-1} \end{array} \right)
\)
Exercici 6
Sigui la matriu quadrada \( \boldsymbol{A}=(a_{ij}) \) d'ordre 4, amb els seus elements definits per:
\( a_{ij}=\left \lbrace \begin{array}{ccc} 0 & si & i \gt j \\ 1 & si & i \le j \end{array} \right . \)
- Escriu de forma explícita la matriu \(\boldsymbol{A}\)
Solució:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&1 \\ 0&0&1&1 \\0&0&0&1 \end{array} \right) \)
- Calcula \(\boldsymbol{A}^2\)
Solució:
\( \boldsymbol{A}^2 = \left( \begin{array}{rrrr} 1&2&3&4 \\ 0&1&2&3 \\ 0&0&1&2 \\0&0&0&1 \end{array} \right) \)
- Calcula \(\boldsymbol{A}^3\)
Solució:
\( \boldsymbol{A}^3 = \left( \begin{array}{rrrr} 1&3&6&10 \\ 0&1&3&6 \\ 0&0&1&3 \\0&0&0&1 \end{array} \right) \)
Exercici 7
Siguin les matrius \(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&1 \\ -1&2 \end{array} \right) \) i \(\boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&3 \\ a&b \end{array} \right)\). Quins valors han de tenir \(a\) i \(b\) si sabem que \(\boldsymbol{A}\) i \(\boldsymbol{B}\) commuten?
Solució:
\( a=-3 \quad \land \quad b=4 \)
Exercici 8
Sigui la matriu \(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0&a&b \\ 0&0&c \\ 0&0&0 \end{array} \right) \):
- Troba \(\boldsymbol{A}^n\), \( \forall n \in \mathbb{N} \)
Solució:
\( \boldsymbol{A}^2 = \left( \begin{array}{rrr} 0&0&ab \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right) \quad \land \quad \boldsymbol{A}^n = \left( \begin{array}{rrr} 0&0&0 \\ 0&0&0 \\ 0&0&0 \end{array} \right) \quad \forall n \ge 2 \)
- Calcula \( \left( \boldsymbol{A}^7 + \boldsymbol{A}^4 + \boldsymbol{A}^2 \right)^2 \)
Solució:
\( \left( \boldsymbol{A}^7 + \boldsymbol{A}^4 + \boldsymbol{A}^2 \right)^2 = \left( \boldsymbol{0} + \boldsymbol{0} + \boldsymbol{A}^2 \right)^2 = \boldsymbol{A}^4 = 0 \)
Exercici 9
Una matriu \(\boldsymbol{A}\) es diu ortogonal si \( \boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{A}^\mathsf{T} = \boldsymbol{A}^\mathsf{T}\cdot\boldsymbol{A} = I \), o sigui \( \boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{A}^\mathsf{T} \). Quines de les següents matrius són ortogonals:
- \( \quad \quad \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{array} \right)\)
- \( \quad \quad \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&0 \\ 0&-1 \end{array} \right)\)
- \( \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rr} 0&-1 \\ 1&0 \end{array} \right)\)
- \( \quad \quad \boldsymbol{D} = \left( \begin{array}{rr} 1&0&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&1 \end{array} \right)\)
Solució:
Totes quatre són ortogonals.
Exercici 10
Una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\) és periòdica si existeix un nombre natural \(n\) tal que \(\boldsymbol{A}^{n+1} = \boldsymbol{A}\). I si \(n\) és el menor nombre natural que ho compleix, es diu que la matriu \(\boldsymbol{A}\) és periòdica de període \(n\).
- Demostra que la matriu \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{cc} p&1-p \\ 1+p&p \end{array} \right) \) és periòdica.
Solució:
\( \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{I}_2 \quad \Rightarrow \quad \boldsymbol{A}^3 = \boldsymbol{A} \quad \Rightarrow \quad\) \( \boldsymbol{A} \) és periòdica de període \(2\).
- Troba una expressió que et permeti calcular \( \boldsymbol{A}^n \)
Solució:
\( \boldsymbol{A}^n = \left\lbrace \begin{array}{rcl} \boldsymbol{A}&\textrm{si}&n \hspace{0.4em} \textrm{és senar} \\ \boldsymbol{I}_2&\textrm{si}&n \hspace{0.4em} \textrm{és parell} \end{array} \right. \)
Exercici 11
Calcula \(\boldsymbol{A}^{2015}\) amb:
\(\boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 0&0&1 \\ 0&1&0 \\ 1&0&0 \end{array} \right) \)
Solució:
\( \boldsymbol{A}^{2015} = \boldsymbol{A} \)