Es diu que una matriu \(\boldsymbol{A}\) de dimensió \(m \times n \) té rang \(p\), i s'escriu \( \mathrm{rang}\,\boldsymbol{A} = p \), si té al menys un menor d’ordre \(p\) diferent de zero i tots els menors d’ordre superior a \(p\) són zero o bé no existeixen.
És a dir, el rang d'una matriu és l'ordre màxim dels seus menors no nuls. Per calcular el rang d'una matriu, s'ha de trobar el determinant diferent de zero d'ordre més gran possible. L'ordre o dimensió d'aquest determinant és el rang de la matriu.
El rang és també el nombre màxim de files o columnes linealment independents.
De la definició de rang es dedueix:
\( 0 \le \mathrm{rang}\,\boldsymbol{A} \le \mathrm{min}(n,m) \)
De fet, com que \( \mathrm{rang}\,\boldsymbol{A} = 0\) només passa quan \(\boldsymbol{A}\) és una matriu nul·la, el que s'agafa habitualment com a punt de partida per al càlcul del rang d'una matriu és:
\( 1 \le \mathrm{rang}\,\boldsymbol{A} \le min(n,m) \)
Exemple
Sigui la matriu \(\boldsymbol{A}\) següent:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&3&5 \\ 2&6&0 \end{array} \right) \)
L'ordre màxim dels determinants que es poden encabir en aquesta matriu és \(2\). Per tant:
\( 1 \le \mathrm{rang}\,\boldsymbol{A} \le 2 \)
I com que hi ha, com a mínim, un menor d'ordre \(2\) no nul,
\( \left| \begin{array}{rr} 3&5 \\ 6&0 \end{array} \right| = -30 \ne 0\)
es pot dir que \( \mathrm{rang}\,\boldsymbol{A} = 2 \).
Si a un menor d'ordre \( r \ne 0 \) se li afegeix una fila i una columna, s'obté un altre menor d'ordre \( r + 1 \), que s'anomena menor orlat del primer.
Els menor orlats permeten calcular més ràpidament el rang d'una matriu. Si un menor d'ordre \(r\) és diferent de zero i tots els seus orlats d'ordre \(r+1\) són zero, llavors el rang de la matriu és \(r\).
Exemple
Sigui la matriu \(\boldsymbol{B}\) següent:
\( \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rrrr} 1&2&0&1 \\ 3&4&-2&2 \\ 5&6&-4&1 \end{array} \right) \)
L'ordre màxim dels determinants que es poden encabir en aquesta matriu és \(3\). Per tant:
\( 1 \le \mathrm{rang}\,\boldsymbol{B} \le 3 \)
I com que hi ha, com a mínim, un menor d'ordre \(2\) no nul,
\( \left| \begin{array}{rr} 1&2 \\ 3&4 \end{array} \right| = -2 \ne 0\)
es pot afinar més i dir que:
\( 2 \le \mathrm{rang}\,\boldsymbol{B} \le 3 \)
Amb columnes de la matriu \(\boldsymbol{B}\) es poden formar quatre menors d'ordre \(3\). Si un d'ells és diferent de zero, el rang de \(\boldsymbol{B}\) és \(3\). Si tots quatre són zero, el rang de \(\boldsymbol{B}\) és \(2\). De fet no cal probar-los tots. N'hi ha prou amb els menors orlats del d'ordre \(2\) no nul d'abans.
\( \left| \begin{array}{rrr} \color{blue}{1}&\color{blue}{2}&0 \\ \color{blue}{3}&\color{blue}{4}&-2 \\ 5&6&-4 \end{array} \right| \quad \) i \( \quad \left| \begin{array}{rrr} \color{blue}{1}&\color{blue}{2}&1 \\ \color{blue}{3}&\color{blue}{4}&2 \\ 5&6&1 \end{array} \right| \)
En aquest cas el primer dels dos és igual a zero, però el segon no. Per tant el rang de la matriu \(\boldsymbol{B}\) és igual a \(3\).
\( \begin{align} &\left| \begin{array}{rrr} \color{blue}{1}&\color{blue}{2}&0 \\ \color{blue}{3}&\color{blue}{4}&-2 \\ 5&6&-4 \end{array} \right| = 0 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{?} \\[5pt] &\left| \begin{array}{rrr} \color{blue}{1}&\color{blue}{2}&1 \\ \color{blue}{3}&\color{blue}{4}&2 \\ 5&6&1 \end{array} \right| = 4 \quad \Rightarrow \quad \mathrm{rang}\,\boldsymbol{B} = 3 \end{align}\)
Exercici 21
Calcula el rang de les següents matrius:
| \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 6&1&3&2 \\ 2&2&2&1 \\ 2&-3&-1&0 \end{array} \right) \) | Solució: | |
| \( \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rrrr} 1&1&1&2 \\ 2&2&3&3 \\ 3&4&4&4 \end{array} \right) \) | Solució: | |
| \( \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rrrr} 1&1&1&1 \\ 0&1&1&1 \\ 1&0&0&0 \\ 0&0&0&1 \end{array} \right) \) | Solució: |