Sigui \(\boldsymbol{A}\) una matriu quadrada regular d'ordre \(n\). La matriu inversa de \(\boldsymbol{A}\) és una altra matriu quadrada del mateix ordre que verifica:
\( \boldsymbol{A}^{-1}·\boldsymbol{A} = \boldsymbol{A}·\boldsymbol{A}^{-1} = \boldsymbol{I}\)
On \(\boldsymbol{I}\) és la matriu identitat d'ordre \(n\).
Algunes propietats de la matrius inverses són:
Exercici 18
Sigui la matriu \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 2&3 \\ 1&2 \end{array} \right) \). Comprova quina de les matrius següents és la seva inversa
\( \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rr} 1&-1 \\ 1&-1 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{C} = \left( \begin{array}{rr} -1&-1 \\ 1&1 \end{array} \right) \quad \quad \boldsymbol{D} = \left( \begin{array}{rr} 2&-3 \\ -1&2 \end{array} \right) \)
Es defineix la matriu inversa com una matriu de \( n \times n \) incògnites que es troben a partir de les \( n \times n \) equacions generades per la igualtat matricial \( \boldsymbol{A}·\boldsymbol{A}^{-1}=I \) o \( \boldsymbol{A}^{-1}·\boldsymbol{A}^{-1}=I \)
Exemple
Donada la matriu:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rr} 1&2 \\ 3&1 \end{array} \right) \)
La seva inversa ha de ser també una matriu quadrada del mateix ordre.
\( \boldsymbol{A}^{-1} = \left( \begin{array}{rr} a&b \\ c&d \end{array} \right) \)
Si imposem que aquestes dues matrius siguin inverses l'una de l'altra.
\( \boldsymbol{A}·\boldsymbol{A}^{-1}=I \Rightarrow \left( \begin{array}{rr} a+2c&b+2d \\ 3a+c&3b+d \end{array} \right) = \left( \begin{array}{rr} 1&0 \\ 0&1 \end{array} \right)\)
Aquesta equació matricial equival a \(4\) equacions amb \(4\) incògnites. De fet les equacions es poden separar en \(2\) sistemes de \(2\) equacions amb \(2\) incògnites.
\( \displaystyle \left. \begin{array}{r} a+2c=1 \\ 3a+c=0 \end{array} \right \rbrace \quad \Rightarrow \quad a=-\frac{1}{5} \quad \land \quad c= \frac{3}{5} \)
\( \displaystyle \left. \begin{array}{r} b+2d=0 \\ 3b+d=1 \end{array} \right \rbrace \quad \Rightarrow \quad d=-\frac{1}{5} \quad \land \quad b= \frac{2}{5} \)
Finalment.
\( \displaystyle \boldsymbol{A}^{-1} = \left( \begin{array}{rr} -\frac{1}{5}&\frac{2}{5} \\ \frac{3}{5}&-\frac{1}{5} \end{array} \right) = \displaystyle \frac{1}{5}·\left( \begin{array}{rr} -1&2 \\ 3&-1 \end{array} \right) \)
Aquest mètode no és aconsellable perquè amb una matriu d’ordre \(2\) ja s’han de resoldre dos sistemes de dos equacions amb dos incògnites. I si fos una matriu d’ordre \(3\), serien tres sistemes de tres equacions amb tres incògnites.
Exercici 19
Calcula la matriu inversa de \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 2&3&0 \\ 0&1&0 \\ 0&0&2 \end{array} \right) \).
Es pot calcular la matriu inversa dividint la transposada de la matriu adjunta de \(\boldsymbol{A}\) entre el determinant de \(\boldsymbol{A}\).
\( \boldsymbol{A}^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\left|\boldsymbol{A}\right|} · \left( \boldsymbol{A}^* \right)^\mathsf{T} = \frac{1}{\left|\boldsymbol{A}\right|} · \left( \boldsymbol{A}^\mathsf{T} \right)^* \)
Aquí es pot veure per què la matriu \(\boldsymbol{A}\) ha de ser regular. El determinant ha de ser diferent de zero per poder fer la divisió.
Exemple
Sigui la matriu:
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&2&4 \\ 3&3&1 \\ 0&0&1 \end{array} \right) \)
Si es vol calcular la seva matriu inversa, el primer que s'ha de fer és veure si és una matriu regular:
\( \left|\boldsymbol{A}\right| = 1·\left| \begin{array}{rr} 1&2 \\ 3&3 \end{array} \right| = -3 \ne 0 \quad \Rightarrow \quad \) \(\boldsymbol{A}\) és regular
Com que el seu determinant és diferent de zero, la matriu és regular, és a dir, invertible. La seva matriu adjunta és:
\( \boldsymbol{A}^* = \left( \begin{array}{rrr} 3&-3&0 \\ -2&1&0 \\ -10&11&-3 \end{array} \right) \)
I la transposada de l'adjunta és:
\( (\boldsymbol{A}^*)^\top = \left( \begin{array}{rrr} 3&-2&-10 \\ -3&1&11 \\ 0&0&-3 \end{array} \right) \)
I, finalment, la matriu inversa de \(\boldsymbol{A}\) és:
\( \boldsymbol{A}^{-1} = \displaystyle \frac{1}{\left|\boldsymbol{A}\right|} · \left( \boldsymbol{A}^* \right)^\top = \textstyle \left( \begin{array}{rrr} -1&\frac{2}{3}&\frac{10}{3} \\ 1&-\frac{1}{3}&-\frac{11}{3} \\ 0&0&1 \end{array} \right) \)
Exercici 20
Calcula la matriu inversa de \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&3&5 \\ 0&2&2 \\ 4&2&0 \end{array} \right) \).