El valor d'un determinant \( \left| \boldsymbol{A} \right| \) d'ordre \( n \) és la suma algebraica dels \(n\) productes que s'obtenen multiplicant cada element d'una linia qualsevol (fila o columna) per el seu adjunt corresponent.
Per exemple, un determinant d'ordre 3 es pot calcular fent el desenvolupament pels elements de la primera fila:
\( \begin{align} \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right| &= a_{11}·A_{11} + a_{12}·A_{12} + a_{13}·A_{13} = \\ &= a_{11}·\left| \begin{array}{cc} a_{22}&a_{23} \\ a_{32}&a_{33} \end{array} \right| - a_{12}·\left| \begin{array}{cc} a_{21}&a_{23} \\ a_{31}&a_{33} \end{array} \right| + a_{13}·\left| \begin{array}{cc} a_{21}&a_{22} \\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right| \end {align} \)
Però també es pot desenvolupar, per exemple, pels elements de la tercera columna:
\( \begin{align} \left| \begin{array}{ccc} a_{11}&a_{12}&a_{13} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{array} \right| &= a_{13}·A_{13} + a_{23}·A_{23} + a_{33}·A_{33} = \\ &= a_{13}·\left| \begin{array}{cc} a_{21}&a_{22} \\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right| - a_{23}·\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{12} \\ a_{31}&a_{32} \end{array} \right| + a_{33}·\left| \begin{array}{cc} a_{11}&a_{212} \\ a_{21}&a_{22} \end{array} \right| \end {align} \)
Aquest mètode és molt útil quan una de les línies (fila o columna) té zeros. Altra avantatge d'aquest mètode és que permet calcular determinants d'ordre 4 o superior.
Exemple
El determinant de la matriu
\( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 1&2&5 \\ 6&0&0 \\ 3&4&-1 \end{array} \right) \)
es pot fer amb un desenvolupament dels elements de la segona fila. D'aquesta manera no cal calcular 2 dels 3 determinants d'ordre 2.
\( \begin{align} \left| \boldsymbol{A} \right| &= -6·\left| \begin{array}{rr} 2&5 \\ 4&-1 \end{array} \right| + \cancel{ 0·\left| \begin{array}{rr} 1&5 \\ 3&-1 \end{array} \right| } - \cancel{ 0·\left| \begin{array}{rr} 1&2 \\ 3&4 \end{array} \right| } = \\ &= -6·(-22) = 132 \end{align} \)
La regla de Sarrus només és vàlida per a determinants d'ordre 3. Però el mètode del desenvolupament pels elements d'una línia es vàlid per a determinants de qualsevol ordre.
Concretament un determinant d'ordre \(4\) es pot calcular a partir de quatre determinants d'ordre \(3\). Si, per exemple, es desenvolupa pels elements de la primera fila.
\( \left| \begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&a_{13}&a_{14} \\ a_{21}&a_{22}&a_{23}&a_{24} \\ a_{31}&a_{32}&a_{33}&a_{34} \\ a_{41}&a_{42}&a_{43}&a_{44} \end{array} \right| = a_{11} \cdot A_{11} + a_{12} \cdot A_{12} + a_{13} \cdot A_{13} + a_{14} \cdot A_{14} \)
Per saber el signe que correspon als adjunts, podem fer servir una taula escacada de signes:
\( \left(\begin{array}{rrr} +&-&+&- \\ -&+&-&+ \\ +&-&+&- \\ -&+&-&+ \end{array}\right) \)
Exercici 17
Calcula el determinant de la matriu \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrrr} 0&3&1&-1 \\ 4&0&1&1 \\ 3&0&5&1 \\ -2&5&0&1 \end{array} \right) \).
Solució:\( \left| \begin{array}{ccc} 0&a&b \\ 0&c&d \\ 0&e&f \end{array} \right| = 0 \)
\( \left| \begin{array}{ccc} a&b&kb \\ c&d&kd \\ e&f&kf \end{array} \right| = 0\)
\( \left| \begin{array}{ccc} \lambda a&b&c \\ \lambda d&e&f \\ \lambda g&h&i \end{array} \right| = \lambda·\left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| \)
\( \left| \begin{array}{ccc} \lambda a&\lambda b&\lambda c \\ \lambda d&\lambda e&\lambda f \\ \lambda g&\lambda h&\lambda i \end{array} \right| = \lambda ^3·\left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| \)
\( \left| \begin{array}{ccc} d&e&f \\ a&b&c \\ g&h&i \end{array} \right| = -\left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| \)
\( \left| \begin{array}{ccc} a+\lambda b+\mu c&b&c \\ d+\lambda e+\mu f&e&f \\ g+\lambda h+\mu i&h&i \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| \)
\( \left| \begin{array}{ccc} a_1+a_2&b&c \\ d_1+d_2&e&f \\ g_1+g_2&h&i \end{array} \right| = \left| \begin{array}{ccc} a_1&b&c \\ d_1&e&f \\ g_1&h&i \end{array} \right| + \left| \begin{array}{ccc} a_2&b&c \\ d_2&e&f \\ g_2&h&i \end{array} \right| \)
\( \begin{align} \left| \begin{array}{ccc} a&d&g \\ b&e&h \\ c&f&i \end{array} \right| &= \left| \begin{array}{ccc} a&b&c \\ d&e&f \\ g&h&i \end{array} \right| \\[5pt] \left| \boldsymbol{A}^\mathsf{T} \right| &= \left| \boldsymbol{A} \right| \end{align} \)
\( \left| \boldsymbol{A} \cdot \boldsymbol{B} \right| = \left| \boldsymbol{A}| \cdot |\boldsymbol{B} \right| \)