Adjunts d'una matriu quadrada

Menor d'una matriu

S'anomena menor d'una matriu \(\boldsymbol{A}\) al determinant de qualsevol submatriu quadrada de \(\boldsymbol{A}\).

Exemples

Sigui la matriu \(\boldsymbol{B}\) següent:

\(\boldsymbol{B} = \left(\begin{array}{rrrrr} 1&-2&4&7&-1 \\ 0&3&1&2&6 \\ 1&4&9&0&-1 \end{array}\right) \)

Si s'eliminen la segona i la tercera columnes, per exemple, s'obté una submatriu quadrada d'ordre \(3\). El determinant d'aquesta és un menor d'ordre \(3\) de \(\boldsymbol{B}\).

\( \left| \begin{array}{rrr} 1&7&-1 \\ 0&2&6 \\ 1&0&-1 \end{array} \right| = 42 \)

Si s'eliminen les tres últimes columnes i la primera fila, per exemple, s'obté una submatriu quadrada d'ordre \(2\). El determinant d'aquesta és un menor d'ordre \(2\) de \(\boldsymbol{B}\).

\( \left| \begin{array}{rr} 0&3 \\ 1&4 \end{array} \right| = -3 \)

Menors complementaris i adjunts d'una matriu quadrada

Donada una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\), d'ordre \(n\), s'anomena menor complementari \(\alpha_{ij}\) d'un element \(a_{ij}\) al determinant de la submatriu d'ordre \(n-1\) que resulta d'eliminar la fila \(i\) i la columna \(j\) de la matriu \(\boldsymbol{A}\). El nombre que s'obté a partir de l'expressió \( A_{ij}=(-1)^{i+j}·\alpha_{ij}\) s'anomena adjunt de l'element \(a_{ij}\).

Exemples

Sigui la matriu \(\boldsymbol{A}\) següent:

\(\boldsymbol{A} = \left(\begin{array}{rrr} 1&-2&4 \\ 0&3&1 \\ 9&0&-1 \end{array}\right) \)

Associat a l'element \(a_{23}\), per exemple, es té un menor complementari \(\alpha_{23}\) i un adjunt \(A_{23}\) que es calculen de la següent manera:

\( \alpha_{23} = \left| \begin{array}{rr} 1&-2 \\ 9&0 \end{array} \right| = 18 \)

\( A_{23} = (-1)^{2+3}\alpha_{23} = (-1)·18 = -18 \)

Matriu adjunta

Es defineix la matriu adjunta d'una matriu quadrada \(\boldsymbol{A}\), com la matriu formada pels adjunt dels elements de \(\boldsymbol{A}\). Designem aquesta matriu amb el símbol \(\boldsymbol{A}^*\), de manera que \( \boldsymbol{A}^*=(A_{ij}) \). Obviament \(\boldsymbol{A}^*\) és també una matriu quadrada de la mateixa dimensió que \(\boldsymbol{A}\).

Per saber el signe que correspon als adjunts, no cal fer cada vegada el càlcul de l'expressió \( (-1)^{i+j} \). Pot ser útil memoritzar la següent taula escacada de signes, on el signe \(+\) vol dir que l'adjunt i el menor complementari són iguals i el signe \(-\) vol dir que l'adjunt i el menor complementari són oposats.

\( \left(\begin{array}{rrr} +&-&+ \\ -&+&- \\ +&-&+ \end{array}\right) \)

Exemple

Sigui la matriu \(\boldsymbol{A}\) següent:

\(A = \left(\begin{array}{rrr} 1&3&5 \\ 2&7&8 \\ 9&4&6 \end{array}\right) \)

Els seus adjunts són:

\( A_{11} = \left| \begin{array}{rr} 7&8 \\ 4&6 \end{array} \right| = 10 \) \( A_{12} = - \left| \begin{array}{rr} 2&8 \\ 9&6 \end{array} \right| = 60 \) \( A_{13} = \left| \begin{array}{rr} 2&7 \\ 9&4 \end{array} \right| = -55 \)
\( A_{21} = - \left| \begin{array}{rr} 3&5 \\ 4&6 \end{array} \right| = 2 \) \( A_{22} = \left| \begin{array}{rr} 1&5 \\ 9&6 \end{array} \right| = -39 \) \( A_{23} = - \left| \begin{array}{rr} 1&3 \\ 9&4 \end{array} \right| = 23 \)
\( A_{31} = \left| \begin{array}{rr} 3&5 \\ 7&8 \end{array} \right| = -11 \) \( A_{32} = - \left| \begin{array}{rr} 1&5 \\ 2&8 \end{array} \right| = 2 \) \( A_{33} = \left| \begin{array}{rr} 1&3 \\ 2&7 \end{array} \right| = 1 \)

I la matriu adjunta de \(\boldsymbol{A}\) és:

\( \boldsymbol{A}^* = \left(\begin{array}{rrr} 10&60&-55 \\ 2&-39&23 \\ -11&2&1 \end{array}\right) \)


Exercici 15

  1. Calcula la matriu adjunta de \( \boldsymbol{A} = \left( \begin{array}{rrr} 3&2&1 \\ 6&1&0 \\ 1&0&1 \end{array} \right) \).

    Solució:

  2. Calcula els determinants de \(\boldsymbol{A}\) i de \(\boldsymbol{A}^*\).

    Solució:

Exercici 16

  1. Calcula la matriu adjunta de \( \boldsymbol{B} = \left( \begin{array}{rrr} 1&5 \\ -2&6 \end{array} \right) \).

    Solució:

  2. Calcula \( (\boldsymbol{B}^*)^\mathsf{T} \) i \( (\boldsymbol{B}^\mathsf{T})^* \).

    Solució:

  3. Calcula els determinants de \(\boldsymbol{B}\) i de \(\boldsymbol{B}^*\).

    Solució:

Un parell de propietats que verifiquen les matrius adjuntes són les següents: